第1章 基本概念

1.1 电路的波形及其参数

简单的电路由电源、负载、导线和开关等元器件组成。电源可分为电压源和电流源，电压源最常用，如干电池、汽车蓄电池和公用电网电源。导线以线径截面积（单位：mm2）区分较为常用，有0.5mm2、0.75mm2、1mm2、1.5mm2、2.5mm2、4mm2、6mm2、10mm2、16mm2、25mm2等规格。负载是电能转换成其他形式的能的装置，常用的负载有电灯泡、电炉、扬声器、电动机等。开关担负通、断电路电流的功能，日常生活的照明电路开关通常采用手动机械式开关，而汽车的照明电路开关常用继电器，它是一种应用电磁原理控制的机械式开关。

例1-1 家居生活电路

一个电灯的照明电路如图1.1所示，火线L和零线N提供正弦交流电源，电压为220V（有效值），电灯EL将电能转化为热能和光能，开关S1手动控制电灯EL的点亮和熄灭。这样一个电灯的电路如图1.2所示，A端与火线L连接，B端与零线N连接，A1和B1分别与电灯E1的两端连接。显然，AB两端的正弦交流电压的有效值为220V，频率为50Hz。如果已知电灯E1的电阻，很容易计算出开关S1闭合后电灯E1的功率。

例1-2 汽车照明电路

汽车远光灯的照明电路如图1.3所示，B+与12V蓄电池的正极连接，车身与蓄电池的负极连接，俗称“搭铁”，继电器R控制左右两侧的远光灯LL和LR的点亮和熄灭。汽车远光灯的电路如图1.4所示，A端与蓄电池正极连接，B端搭铁，开关SR表示电控的继电器开关，A1和B1分别与远光灯LL和LR的两端连接。电路中，AB两端施加的电压为直流12V。如果已知AB两端的电流波形及其参数，那么就可计算开关SR闭合后远光灯LL和LR的总功率。

常见电路的波形有直流、正弦波、矩形波和三角波，后三者具有交流波形。而电路波形的参数有周期、频率、幅值、峰-峰值、平均值、有效值，这些参数在示波器上很常用。

1.1.1 参数

周期一般指事物在运动变化中的某些现象连续两次重复出现的时间，单位为秒（s）。对于如交流电压、电流等物理量而言，周期是其完成一次振动（或振荡）所经历的时间。对于一个函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得自变量x在其定义域内变化时都有

f（x+T）=f（x） （1.1）

那么，函数f（x）称为周期函数。非零常数T称为这个函数的周期。

频率是物体在单位时间内完成振动的次数，是描述振动物体往复运动频繁程度的量，单位为秒-1（s-1）。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献，人们把频率的单位命名为赫兹（Hz），简称“赫”。物理量在1s内完成周期性变化的次数称为频率，常用f表示。例如，交流电压在单位时间内完成周期性变化的次数，称为电压的频率。频率f是周期T的倒数，即

例1-1中生活用照明电路的220V电源是一种正弦交流电，电源电压的频率为50Hz，也就是说电压在1s内做了50次的周期性变化，电压的周期为0.02s或20ms。

幅值指物理量在一个周期内瞬时出现的最大绝对值，也称振幅、峰值。

峰-峰值是指物理量在一个周期内瞬时出现的最大值和最小值之间的绝对差值。

平均值常指物理量的算术平均值，对于一个周期为T的函数f（t），函数f（t）在一个周期T内的算术平均值fave为

有效值是指物理量的均方根值。对于一个周期为T的函数f（t），函数f（t）在一个周期T内的均方根值frms为

很显然，有些物理量的周期平均值为0，但它的有效值非0，表示物理量做功的能力。

1.1.2 直流

直流的波形不发生周期性变化，它是一条直线，如图1.5所示。直流的平均值恒等于峰值，频率等于0，有效值等于平均值。

数学表达式为

u（t）=Up （1.5）

平均值为

Uave=Up

有效值为

Urms=Up

1.1.3 正弦波

正弦波信号是常用的电路波形信号，公用电网传输到家庭的电源信号是正弦波，如图1.6所示。显然，正弦波信号发生周而复始的周期性变化。

数学表达式为

u（t）=Upsinωt （1.6）

式中，Up是幅值（V），ω是圆频率（rad/s）。

周期为

频率为

峰-峰值为

Upp=2Up

平均值为

有效值为

把常量放到积分公式外，公式整理为

运用三角运算的降幂公式，可得

积分运算

运用周期函数的性质有

从而，获得一个周期内正弦波的有效值

例1-3 计算图1.6所示正弦电压的周期、频率、圆频率、峰-峰值和有效值。

解：

由图1.6可知正弦电压的参数如下。

幅值：Up=311V

周期：T=0.02s

频率：

圆频率：ω=2πf=2π×50=314rad/s

峰-峰值：Upp=2Up=2×311=622V

有效值：

例1-4 如果将正弦信号取绝对值，生成的信号的波形（实线部分）如图1.7所示。

（1）写出图示波形的数学表达式。

（2）计算图示波形的周期和频率。

（3）计算图示波形的平均值和有效值。

解：

（1）由图1.7可知，在0.01～0.02s对应实线部分的波形是虚线部分波形——正弦波负半波沿t轴的对称波形。显然，该波形的数学表达式为

其中，

幅值：Up=537V

周期：T=0.01s

频率：

圆频率：ω=πf=100π=314rad/s

（2）图1.7的波形的周期是0.01s，频率是100Hz。

（3）计算图1.7的波形的平均值和有效值。

① 平均值计算。

由式（1.3）可知，图示波形的平均值计算如下：

因此，图示波形的平均值为

② 有效值计算。

由式（1.4）可知，图示波形的有效值与正弦波的有效值相等，因此

例1-5 由正弦信号生成的数学表达式为

（1）计算式（1.8）的平均值和有效值。

（2）绘制其一个周期的波形。

解：

（1）式（1.8）所表示的图形的频率和周期计算如下。

频率：

周期：

由平均值的计算公式可知式（1.8）的平均值计算如下。

由有效值的计算公式可知式（1.8）的有效值计算如下。

运用三角运算的降幂公式，可得

求积分

从而，该波形的有效值为

（2）数学表达式在一个周期内的波形如图1.8所示。

1.1.4 矩形波

在直流电路系统中，矩形波是常用的电路波形信号。在例1-2的汽车照明电路中，假设蓄电池的电压维持在12V，如果闭合和断开开关SR，将在远光灯上产生一个矩形波的电压信号，如图1.9所示。

图1.9中，如果从开关闭合时刻计算，那么电压矩形波的数学表达式为

如果图1.9中的电压矩形波周期性地发生重复，那么它的参数计算如下。

周期：T=t3-t1

脉宽：tp=t2-t1

频率：

平均值：

有效值：

如果将占空比定义为脉宽时间与周期之比，即

那么，矩形电压波的平均值为

Uave=Upδ （1.11）

矩形电压波的有效值为

例1-6 图1.9所示的矩形电压波的周期为2s，幅值为12V，平均电压为3V。求：

（1）矩形电压波的占空比；

（2）矩形电压波的脉宽时间；

（3）矩形电压波的有效值。

解：

根据已知条件，可得

T=2s，Up=12V，Uave=3V

（1）矩形电压波的占空比计算。

（2）矩形电压波的脉宽时间计算。

tp=δT=25%×2=0.5s

（3）矩形电压波的有效值计算。

1.1.5 三角波

在产生脉宽调制（PWM）波时，常用的载波有三角锯齿波和等腰三角波。锯齿波的数学表达式如下：

锯齿波从0线性增长为最大值Up，周而复始，如图1.10所示。

锯齿波的平均值等于幅值的二分之一，即

锯齿波的有效值计算如下：

显然，锯齿波的平均值和有效值与它的幅值成正比例关系，而与它的周期无关。

例1-7 证明周期和幅值相同的等效三角波与锯齿波的平均值和有效值相等。

证明：

图1.11所示的等腰三角波的数学表达式为

周期性的等腰三角波重复第一个周期的波形，因此它的平均值计算如下：

同样，等腰三角波的有效值计算为

改变积分参数，表达式整理为

改变积分界限，有

整理公式得

据以上证明可知，周期和幅值相同的等效三角波与锯齿波的平均值和有效值相等。

1.1.6 谐波

功率转换电路的电流波形易发生畸变形成非正弦电流，这是由于功率半导体器件的导通与关断造成的。稳态时，这种畸变的非正弦波形发生周期性变化。根据法国数学家傅里叶分析，任何重复的波形都可以分解为傅里叶级数。

如果周期T的非正弦波形以时间函数f（t）表示，则有

式中，ω=2πf，。

其中，A0是非正弦函数的平均值，表示非正弦波形的直流成分。具有频率为f的成分A1sin（ωt+ϕ1）称为非正弦波形的基波。具有频率为基波频率整数（＞1）倍的成分称为非正弦波形的谐波，比如2次谐波、3次谐波、4次谐波、5次谐波、6次谐波、7次谐波等。非正弦波形的有效值Arms为

将谐波的有效值与基波的有效值之比定义为非正弦波的总畸变率THD（Total Harmonic Distortion），即

例1-8 频率为50Hz、幅值为10A的方波电流的波形如图1.12（a）所示，求：

（1）方波电流的基波和谐波的数学表达式；

（2）方波电流的总畸变率。

解：

由题意可知，方波电流的幅值和频率分别为

Ip=10A，f=50Hz

（1）图1.12（a）所示方波电流波形的数学表达式为

显然，方波电流波形的其他参数计算如下。

周期：

圆频率：ω=2πf=314rad/s

峰-峰值：Ipp=20A

平均值：I0=0

有效值：

可以证明该方波电流函数是一个奇函数，即

i（-t）=-i（t）

这样an=0

因此，方波电流的傅里叶级数为

由此，方波电流的基波的数学表达式为

方波电流的谐波的数学表达式为

方波电流的基波和3、5、7、9、11次谐波及其合成的波形如图1.12（b）所示。

（2）根据方波电流基波的数学表达式，得到基波的有效值为

而方波电流的谐波有效值为

因此

这样，方波的总畸变率为