第二章 数字推理

黑龙江历年考点透视

最近几年的公务员考试，大多数省份，包括黑龙江省在内，都没有考查数字推理，但是关于这种题型的介绍仍未从公共科目考试大纲中删除。命题者的意图谁也说不清楚，因此在备考黑龙江省公务员行测考试时，掌握该类题型的解题思路以及一般规律还是非常有必要的。

作答数字推理题目，考生的思维反应速度与计算速度是关键。要想在这两项上有所提高，就需要系统复习。在数字推理的练习当中，建议考生从以下两个方面有目的地提升解题能力。

第一，要打好基础。数学中的基本公式与计算方法是一定要掌握的。可以根据题型的基本分类，逐一复习。在复习的过程中，对于每个题型在解题时可以应用到的基本知识点进行有针对性的梳理与总结，这样在推导阶段便不会出现看见题目不知从何下手的情况了。

第二，提高计算速度。某些不容易直接得出答案的题目，在列出推导公式后，提高计算速度与准确度就显得十分重要了。如果四则运算速度较慢，建议每天做一些基本练习。对于复杂易错的推导公式，考生要重点掌握。

在完成这两项基础训练后，建议多做试卷，检查自己对知识点的掌握是否扎实。总结自己的错误后，再重新做好复习与调整。

典型真题直击

考点关键词

基础数列

（广东2015—21）3，10，31，94，（ ）。

A.125

B.188

C.283

D.2914

答案

基础知识解读

简单来说，数字推理就是每道题给出一个数列，但其中缺少一项或两项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从四个供选择的答案中选出最合适、最合理的一个来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。

数字推理题一般可以分为两步来处理：第一，观察数列特征；第二，将没有明显特征的数列变成特征数列。具体解题思路见下图：

常考角度剖析

考点1 基础数列

基础数列是数字推理的基础。大部分数字推理题都是基础数列的演化，因此掌握一些基础数列的性质对解决数字推理题很有必要。

1.常数数列

由一个固定的常数构成的数列称为常数数列。

例如：1，1，1，1，1，1，…

常数数列较少出现，多在分数数列中出现，且经常是通分后才会呈现。

2.等差数列

后项减去前项的值保持不变的数列称为等差数列。

例如：3，7，11，15，19，…；14，28，42，56，…；-6，16，38，60，…

3.等比数列

后项除以前项的值保持不变的数列称为等比数列。

例如：2，4，8，16，…；4，6，9，13.5，…；-2，6，-18，54，…

4.质数合数数列

由质数构成的数列称为质数数列。

例如：2，3，5，7，11，13，17，19，…

由合数构成的数列称为合数数列。

例如：4，6，8，9，10，12，14，…

2，3，5，7，11，13，…这个数列有两个相似数列：2，3，5，8，13，…是递推和数列；2，3，5，8，12，…是二级等差数列。

质数数列对应项的2倍也是一个有趣的基础数列：4，6，10，14，22，26，…

5.周期数列

自某一项开始重复出现前面相同（相似）的数列称为周期数列。

例如：2，3，5，2，3，5，…；24，26，24，26，24，26，…

考点2 分数数列

题干特征：数列中大多数的数字为分数。

常见题型：分组→是指分子或分母单独成规律；

交叉→是指相邻项的分子或分母有一定的联系。

解题方法：

1.广义通分→把分子或分母化为一致；

2.约分→当分数的分子与分母含有相同因子时，将其化成最简式；

3.反约分→同时扩大数列当中某些分数的分子与分母（分数大小不变），从而使得分数的分子数列和分母数列形成简单数列。

基本原则：分数数列的分子分母一般是单调递增、单调递减、不变的。

还有一类特殊的数列，数列中含有根式，这类数列无固定规律可循，出现极少，不要求掌握。

【例1】（黑龙江2010—39，（ ）。

A.

B.

C.

D.

思路导学

第一步：观察数列，既有分数又有整数，考虑考查分数数列。

第二步：改写成分数数列，观察可知，分子分母分别呈等差数列。

[名师点评]D。本题考查分数数列。原数列可以化为，各分数的分子两两做差得1、3、5、7，各分数的分母两两做差得1、2、3、4，即做差后的分子分母分别为等差数列。故空缺项的分数分母为5+14=19，分子为9+17=26。故本题正确答案为D。

【例2】，（ ），。

A.

B.

C.

D.

思路导学

观察数字特征，发现后项分子与前项分母，后项分母与前项分母、分子存在关系。

[名师点评]B。本题考查分数数列。后项的分子为前项的分母，后项的分母为前项的分子和分母之和，故空缺项的分子为17，分母为11+17=28。

考点3 组合拆分数列

题干特征：数列较长、出现两个括号，数字忽大忽小呈现波动变化。

两种题型：交叉数列和分组数列。

解题思路：交叉数列→数列的奇项与偶项分别呈现出规律的数列。

分组数列→①将数列中的数字两两分组后，在组内进行加减乘除四则运算，组与组之间存在一定的规律；②将数列中的数字三三分组后，组内三个数满足某种运算法则。

【例1】6，7，5，8，4，9，（ ）。

A.5

B.10

C.3

D.4

思路导学

第一步：分别得出奇数项和偶数项的规律。

第二步：根据所得规律得出准确答案。

[名师点评]C。典型的分组数列。奇项公差为-1、偶项公差为1，括号应填项是奇数项，故为4+（-1）=3，选C。

【例2】15，26，37，（ ），68，79。

A.42

B.44

C.46

D.48

思路导学

第一步：两两分组，于组内做差。

第二步：根据所得规律得出准确答案。

[名师点评]D。分组数列，两两分组，每组组内做差，差为11。26-15=11，（48）-37=11， 79-68=11。所以选择D。

考点4 幂次数列

题干特征：题干中出现多个幂次数或者题干中的数字与幂次数差值很小。

要求：数字敏感→熟悉常见的幂次数。

题型分类：直接幂次数列→简单平方（立方）数列、底数和指数其中之一变化、底数和指数同时变化；

修正幂次数列→修正之后的数列为幂次数列。

平方数列、立方数列是一类基础数列，考生需要熟记如下幂次数。

【例】2，6，30，60，（ ），210，350。

A.76

B.120

C.130

D.128

思路导学

第一步：观察数列特征，数值增幅很大，尝试将每个数字用幂次方式表示出来，并观察得出规律。

第二步：根据变化得出规律及准确答案。

[名师点评]C。本题考查幂次数列。2=13+1，6=23-2，30=33+3，60=43-4，210=63-6，350=73+7，则（ ）=53+5=130，因此答案选择C项。

考点5 多级数列

多级数列是指需要对数列相邻两项进行加、减、乘、除四则运算后找到特定规律的数列。可以分为做差多级数列、做商多级数列、做和多级数列、做积多级数列四种。按照运算的次数不同又可分为二级数列和三级数列两类。经过四则运算后得到的数列可能是等差数列、等比数列、质数相关数列，还可能是幂次数列、周期数列、简单递推数列等。

做差多级数列是多级数列考查的主要内容，做商多级数列、做和多级数列与做积多级数列考查较少。

【例1】（黑龙江2010—38）3，10，21，35，51，（ ）。

A.59

B.66

C.68

D.72

思路导学

第一步：观察数列，本题为二级等差数列。

第二步：计算出数列的公差，得出答案。

[名师点评]C。本题是二级等差数列。第一次两两做差得到7、11、14、16、（ ），再次做差得到等差数列4、3、2、（1），故空缺项等于1+16+51=68。

【例2】3，19，43，79，133，（ ）。

A.169

B.205

C.214

D.229

思路导学

第一步：将原数列两两做差得到新的数列。

第二步：观察新数列的特征，找出正确答案。

[名师点评]C。做差之后是16，24，36，54，（ ），构成公比为的等比数列，则54后面一项是81，所以答案是133+81=214。

考点6 递推数列

递推数列，是指数列中从某一项开始，每项都是其前面的项经过一定的运算得到的数列。

简单递推数列：每一项等于前两项的和、差、积或者商。

例如：2，2，4，6，10，16，26，42，…为简单递推和数列；

15，10，5，5，0，5，-5，…为简单递推差数列；

1，2，2，4，8，32，256，…为简单递推积数列；

729，27，27，1，27，，…为简单递推商数列。

当无法运用特征数列、组合拆分数列等相关知识解答时，可以考虑递推规律。递推数列具有和、差、积、商、方、倍六种基本形态。其中和、积、方、和倍是递增趋势，差和商是递减趋势，由于递减数列我们倒着看是递增的，所以这里我们只介绍递增数列的解题方法。注意：从大的数字开始看，并且结合选项来看。

1.看趋势，做试探。根据数列中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式，然后根据初步判断的趋势做合理的试探。数列的变化趋势（结合选项）可以分为以下几类：

（1）变化比较慢（一般相邻两项之间满足2倍以内），通常考虑加法；

（2）变化极快（观察全部数列，相邻两项之间相差2个数位），一般考虑幂次；

（3）变化不快不慢（相邻两项相差3倍到8倍之间），先用乘法再用倍数。

2.圈三法。通过研究数列的局部规律，从而递推整体规律的方法。圈三法不是只看3项，也有可能是看2项或者4项，只不过考试的时候两项推一项比较多，我们习惯上称为“圈三法”。

当数列趋势不明显，无法看出整体规律时，可以使用圈三法，先看相邻某三个数之间有什么规律，然后验证是不是整体规律。

【例1】（黑龙江2009A—2）276，114，48， 18，（ ）。

A.13

B.12

C.9

D.14

思路导学

第一步：观察整个数列特征，整体递减变化较快，考虑幂次。

第二步：幂次不成，考虑乘法运算。

注意，不符合常规数列规律，建议适当放弃。

[名师点评]B。分析数列各项规律：第二项的2倍加上第三项得到第一项，即276=114×2+48，第三项的2倍加上第四项得到第二项，即114=48×2+18。设第五项为x，按照以上规律可得到48=18×2+x，因此求得第五项为12。

【例2】1，2，3，7，22，（ ）。

A.100

B.133

C.155

D.165

思路导学

第一步：观察相邻三个数字之间的规律。

第二步：将所发现规律代入数列进行验证，若成立，则据此得出答案。

[名师点评]C。递推积数列的变形。研究3，7，22三个数字，易知3×7+1=22，验算可知全部成立，即满足第三项=第一项×第二项+1，因此（ ）=7×22+1=155，选择C。

70分通关必做题

1.768，199，827，69，904，（ ）。

A.92

B.77

C.53

D.39

2.160，80，40，20，（ ）。

A.4

B.6

C.8

D.10

3.6，14，22，（ ），38，46。

A.30

B.32

C.34

D.36

4.1.8，3.6，7.2，14.4，（ ），57.6。

A.18.4

B.22.6

C.28.8

D.34.4

5.300，290，281，273，（ ），260。

A.270

B.266

C.264

D.262

6.3，7，9，14，27，28，81，（ ）。

A.56

B.83

C.108

D.132

7. 1， ， ， ， ， （ ）。

A.

B.

C.

D.

8.24，35，55，57，（ ）。

A.64

B.68

C.75

D.79

9.2，4，12，48，240，（ ）。

A.1645

B.1440

C.1240

D.360

10.3，8，23，68，（ ），608。

A.183

B.188

C.203

D.208

11.2，1，4，6，26，158，（ ）。

A.5124

B.5004

C.4110

D.3676

12.7.1，8.6，14.2，16.12，28.4，（ ）。

A.32.24

B.30.4

C.32.4

D.30.24

13.9，10，65，26，217，（ ）。

A.289

B.89

C.64

D.50

14.12，23，35，47，511，（ ）。

A.613

B.612

C.611

D.610

15.-2，-2，0，4，10，（ ）。

A.12

B.15

C.16

D.18

16.0，4，11，24，48，（ ）。

A.98

B.88

C.76

D.107

17.，1，，，， （ ）。

A.

B.

C.

D.

18.1，11，31，512，196，（ ）。

A.9999

B.999

C.888

D.8888

19.30，15，1002，57，（ ）。

A.78

B.77

C.68

D.67

20.1，9，7，4，8，5，（ ），11。

A.3

B.4

C.5

D.6

21.0.25，0.5，2，（ ），2，0.5。

A.1

B.4

C.0.25

D.0.125

22.6，7，9，15，（ ），159，879。

A.21

B.35

C.67

D.39

参考答案及解析

1.A [解析]机械分组数列。数字特征明显不符合常规数列的特征，马上考虑机械分组，发现每项各个数位上的数字和依次为：21，19，17，15，13，（11），故本题正确答案为A。

2.D [解析]本题考查等比数列。题干给出的是一组公比为12的等比数列，因此（ ）=20× =10。

3.A [解析]本题考查等差数列。题干给出的是一组公差为8的等差数列，因此（ ）=22+8=30。

4.C [解析]本题考查等比数列。题干给出的是一组公比为2的等比数列，因此（ ）=14.4×2=28.8。

5.B [解析]本题考查二级等差数列。

6.A [解析]数列中的奇数项为3，9，27，81，是一组公比为3的等比数列。偶数项为7，14， 28，（ ），是一组公比为2的等比数列。因此（ ）=28×2=56。

7.A [解析]原数列可写为 ，，，，，（ ）。该数列的分母相同，前一项分子减去后一项分子的差依次为5，4，3，2，是等差数列。因此（ ）==。

8.B [解析]数列中每一项都是两位数，将各项的两个数字相加得到新的数列：6，8，10，12，最后一项应选择两位相加为14的数，只有B项符合。

9.B [解析]后项除以前项得到新数列：2、3、4、5、（6），为等差数列，所以未知项为240×6=1440。故正确答案为B。

10.C [解析]后项减去前项得到新数列：5、15、45、（135）、（405），为等比数列，所以未知项为68+135=203，验证后项，608-405=203，符合。故正确答案为C。

11.C [解析]原数列为做积递推数列。相邻两项之积加上2等于下一项，所以未知项为26× 158+2，计算尾数，8+2=10，尾数为0。故正确答案为C。

12.A [解析]奇数项：7.1、14.2、28.4，构成公比为2的等比数列；偶数项：8.6、16.12、（ ），构成公比为2的等比数列，故（ ）=32.24。故正确答案为A。

13.D [解析]各项依次为：23+1，32+1，43+1，52+1，63+1，（72+1），故正确答案为D。

14.A [解析]数位组合数列，各项首位数字1、2、3、4、5、（6），是等差数列；其余数字2、3、5、7、11、（13），是质数数列。故选A。

15.D [解析]本题属于二级等差数列，两两做差之后得到公差为2的等差数列。

16.A [解析]本题属于三级等比数列，两次做差之后得到公比为2的等比数列。

17.A [解析]将1改写，可得：分子数列：1、4、9、16、25、（36），为平方数列；分母2、4、7、11、16、（22）为二级等差数列，所填分数=。故选A。

18.D [解析]各位数字之和分别为1、2、4、8、16、（32），故正确答案为D。

19.A [解析]观察此数列各数字特点，可发现题干中的数字都能被3整除，选项中四个数只有A项78能被3整除，故本题选A。

20.A [解析]数列第一项加最后一项等于第二项加倒数第二项，依此类推，1+11=9+（3）=7+5=4+8，故本题选A。

21.B [解析]本题考查递推数列。An+1 ÷ An=An+2。0.5÷0.25=2，2÷0.5=（4），（4）÷2=2，2÷（4）=0.5。

22.D [解析]本题考查做差多级数列。两两做差得：1，2，6，（ ）-15，159-（ ），720。显然这是1，2，6，24，120，720。1—6的阶乘，分别对24和120进行验证，（ ）都等于39，所以本题选D项。

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