3.3 点估计

3.3.1 点估计、有偏估计和无偏估计

通过样本的统计参数来推测总体的统计参数，称为估计。样本统计参数的值称为估计量。估计分为点估计和区间估计两种类型。点估计是指直接将样本的统计指标作为总体相应指标的估计值，而不考虑这种估计的误差。区间估计是在点估计的基础上，进一步考虑估计的误差范围，以及真实的总体参数落入这个范围的概率。

设总体数量为N，样本数为n。最常用的点估计如表3.1所示。

由于样本是随机抽取的，因此估计量也是一个随机变量。我们希望，估计量的均值等于总体参数。如果估计量的均值等于总体相应的统计参数，则这样的估计称为无偏估计，否则称为有偏估计。无偏和有偏估计如图3.10所示。

只有估计是无偏的，样本数增加时，样本的估计量才会逐渐靠近总体被估计的参数，这样的估计才有意义。统计学理论可以证明，用表3.1中的公式计算的样本均值、样本方差和样本标准差三个估计量都是无偏的。

3.3.2 统计量的自由度

在表3.1中，总体方差和总体标准差的计算公式中的分母都用了总体数量N，而样本方差和样本标准差的计算公式中的分母都用了n-1。其原因如下：

样本均值的计算公式是{L-End} n，均值{L-End} 的信息包含在n个样本数据x1, x2, …, xn中。也就是说，样本均值{L-End} 和样本的n个数据并不是完全独立的。如果已知样本均值{L-End} 和n-1个样本数据，第n个样本数据的值就完全确定了。这时，完全独立的样本数据只有n-1个。完全独立的样本数据称为样本的自由度（degree of freedom，通常缩写为d.f．或df）。统计量的自由度是统计学中经常要用到的概念。由于样本方差和标准差的计算公式中需要用到样本均值{L-End} ，这时n个样本数据只有n-1个是完全独立的，因此样本方差和标准差的计算公式中分母要用n-1。

推而广之，如果要用n个样本数据分别独立地估计k个样本参数，那么，样本的自由度为n-k。

统计学理论可以证明，由于表3.1中总体均值、方差和标准差的估计公式中考虑了样本的自由度，因而，这三个参数的估计是无偏的。如果样本方差和标准差估计量的分母不是n-1而是n，这两个估计将是有偏的。

正因为样本方差、样本标准差的计算公式和总体方差、总体标准差的计算公式是不同的，因此在Excel中计算样本方差、样本标准差的函数分别是VAR和STDEV，而计算总体方差和总体标准差的函数分别是VARP和STDEVP，在这里，字母P表示总体。