§1.3　虚变更

上一节研究的是约束的整体性质；这一节和下一节，我们来研究约束的局部性质.在本节中，我们是按传统的方式来叙述Lagrange的虚变更观念，这时我们局限在讨论一阶线性约束.在§1.4中，我们将采用更为一般性的方式来讨论约束的微变性质，那时考虑的可以是任意的一阶约束.

1.3.1　可能位移

假定系统所受的约束是一阶线性约束组

这种形式的约束是相当一般的了.它包含完整约束的全部，以及具有Pfaff形式的非完整约束.我们假定这组约束是互相独立的，也就是假定（3.1）式对速度变元的系数矩阵缺秩为零.

将（3.1）式乘以时间微变间隔dt，得到

这就是约束所给予的对系统位形微改变量［du₁，du₂，…，du_3N］^T和dt之间的限制关系式，可以称之为约束的微变量关系式，其中位形的微改变量［du₁，du₂，…，du_3N］^T我们称之为位移，所以（3.2）式就是位移所应满足的约束关系式.满足这个关系式的位移称为可能位移.

定义　可能位移是在给定时刻、给定位形、给定时间微变间隔情况下，满足约束限制方程（3.2）的位移.

应该注意到，（3.2）式的约束限制方程对位移变量来说是线性方程，但一般说来，是非齐次的.由于位移分量数3N大于限制方程数L，因此可能位移是很多的.

1.3.2　虚位移

在我们所研究的一阶线性约束范围内，我们定义虚位移是两组在同一给定时刻、同一给定位形，且在相等时间间隔内完成的可能位移之差，并记之为［δ_vu₁，δ_vu₂，…，δ_vu_3N］^T，即

注意到（3.5）式对虚位移分量是线性齐次方程，因此，任意两组虚位移的线性组合都是虚位移.这样，可以断定，在给定时刻和给定位形上，所有的虚位移矢量

［δ_vu₁，δ_vu₂，…，δ_vu_3N］^T

张成了一个线性空间，称之为虚位移空间ε^v.组成这个空间的每个元素——虚位移矢量都有3N个微变（注：此“微变”一语的来由是：产生虚位移的可能位移是在微变时间间隔dt内完成的.但从张成线性空间的意义来看，我们并未限制这些分量的大小，这和切空间的概念是一致的.）分量：δ_vu₁，δ_vu₂，…，δ_vu_3N，但这些分量并不是独立自由的，它们必须满足由约束产生的线性齐次方程组（3.5）.这个方程组我们称之为虚位移空间ε_v的限制方程.

1.3.3　约束为完整时虚位移的含义

当约束为完整时，虚位移的概念就变得非常直观了.先考虑系统仅有一个约束的情况：

其中μ为积分因子，并有μ≠0.注意到，（3.7）式的成立，其中各微变量是自由的，可知一定有

由此可见，所谓虚位移［δ_vu₁，δ_vu₂，…，δ_vu_3N］^T就是将约束积分曲面方程中的时间瞬间凝固之后，沿被凝固的约束曲面切平面上所作的任一无穷小（注：参见第46页注释.）位移.这种位移我们称之为位形的等时变分，记为

δ［u₁，u₂，…，u_3N］^T=［δu₁，δu₂，…，δu_3N］^T.　（3.12）

所以在几何约束条件下，虚位移就是位形的等时变分.如果这个约束还是定常的，那么虚位移就是满足约束方程的任一无穷小位移，即可能位移了.

对于系统受有多个一阶线性约束时，我们现在也来考虑整个Pfaff约束组是完全可积的情形.积分曲面族如下：

这时虚位移的几何意义仍然是瞬间凝固所有的约束曲面后，沿凝固的约束曲面交集上所作的无穷小位移.在约束全是定常的情况下，虚位移和可能位移一致.

1.3.4　虚速度

为了明了虚速度的含义，我们首先在定常几何约束的条件下来分析.

图　1.11

在系统的位形空间C内来考虑.假定σ是系统的约束超曲面.再假定c₁是系统的一条可能的c轨迹.因而明显地，它是一条以时间t为参数的，位于曲面σ上的曲线.现在考虑在曲面σ上，在c₁邻近的另一条c轨迹c₂，显然它也是张在曲面σ上，以时间t为参数的一条曲线.

用虚点线将c₁，c₂轨迹上对应的等时点联结起来，如图1.11所示.其中P与Q，R与M为对应等时点，而P和R，Q和M则分别是同一条轨迹上的邻近点.根据1.3.3小节中的分析，在系统约束为定常几何约束时，显然有

根据对Descartes位形空间C是正交欧氏的假定，有明显的几何关系式成立

应用（3.24）式的dδ_v普遍交换关系式，有

这就是虚速度和虚位移分量应满足的关系式.

1.3.5　状态的等时可能变更与虚变更

现在我们转移到状态空间S内来研究约束的作用.假定系统受有L个一阶线性约束

我们称δ_ps为状态s₀的等时可能变更.由于这样的状态变更是等时微变的，因此它满足的方程为

试问，这样的状态虚变更是否也是状态的等时可能变更呢？从以下一个定理可以看出，状态虚变更δ_vs一般不是状态的等时可能变更.同时还将看出，要状态的虚变更与等时可能变更一致，条件并不是要约束方程组（3.26）中的A_r=0（r=1，2，…，L＜3N），而是要约束方程组（3.26）是一个完整约束组.这一点也突出刻画了完整约束组与非完整约束组之间重要的区别.

定理　如果约束方程组（3.26）是完整约束组，则由系统任一可能状态出发所作的状态虚变更也同样是状态的等时可能变更.

证明　记t=u_3N+1，A_r（u₁，u₂，…，u_3N，t）=A_r，3N+1（u₁，u₂，…，u_3N+1）.则约束方程组（3.26）式可以写成Pfaff形式

将（3.41）式除以dt，成为

比较状态虚变更所满足的方程（3.42）与状态等时可能微变更所满足的方程（3.30），可以看到是完全一致的.定理证毕.

由此定理可以看到，如果系统所受约束组是完整的，那么虚速度定义中引入的dδ_v普遍交换原则就成为等时变分的dδ交换原则，如同我们在1.3.4小节中对于定常几何约束情况下讨论的结果一样.实际上，因为

其中推理的根据是：（1）由于约束组完整；（2）根据定义；（3）利用本定理；（4）根据定义.

以下讨论力学系统状态变分可能施加的限制条件以及状态变分的分类^［8］.设想考查有N个质点组成的力学系统，其状态时间空间为

［u₁，u₂，…，u_3N，v₁，v₂，…，v_3N］^T，

假定它受有一般性的状态空间约束为

π：Φ_r（u，v，t）=dr，r=1，2，…，L＜3N.

考查该力学系统两个邻近的状态s₁，s₂，记它们对应的分量差为状态变分矢量

δs=［δu₁，δu₂，…，δu_3N，δv₁，δv₂，…，δv_3N］^T.

在今后关于变分原理研究中，对于以上的状态变分矢量可以加上不同的限制条件，从而形成不同种类的状态变分：

（1）完全自由的状态变分.

这时对δs不加任何限制.因此，这种完全自由的状态变分一共有6N个自由变分量，其中3N个是位形变分，另外3N个是速度变分.它们都是自由量，相互之间也没有联系.

在应用变分原理建立动力学方程时，由于已存在L个独立的约束方程，我们只需要保留3N-L个自由变分量就可以了.但状态的变分量一共有6N个，因此我们在状态变分分量之间可以附加3N+L个条件.这3N+L个条件的选择有一定的自由性.这3N+L个条件的选择实际上反映了我们选择哪些轨道作为可比轨道族来和正轨作变分的研究.

（2）状态虚变分δ_v.

状态的虚变分，对位形的变分和速度变分都有限制条件.位形变分的限制条件由约束产生，满足符合密切空间的虚位移条件，即

这个限制条件一共有3N个.

（3）状态可能变分δ_p.

此种状态变分要求两个状态都在约束流形之上.由于变分是考虑邻近状态的比较，因此，这种变分有L个限制条件如下：

这个限制一共有3N个.

（4）状态的等式变分δ_e.

此种变分，我们放弃要求变分前后轨道有现实性，因而放弃完全协调性要求，而只保留状态变更在约束流形之上，以保证等式性成立.具体说，对等式变分δe而言，位形变分是虚位移，即满足

状态变分在约束流形之上，即满足

这样，总共有2L个限制条件.这种变分的特性是保证等式的变分仍然能成为等式，而且变分限制条件较少.由于我们可以附加3N+L个条件，因此，对等式变分还可以增加3N-L个限制条件.传统的非完整动力学研究中常增加3N-L个协调性条件，而有L个分量不满足dδ交换性.