第三节 几何投影

关键术语：三维球体；二维平面；几何投影；墨卡托投影；圆锥投影；方位投影

地图投影方法有很多种类，其中，几何投影是其他投影的基础，其他投影都是以几何投影为基础。几何投影的命名包含了投影面、轴向、投影条件及切割关系四个方面的信息。

科学事实与教学问题

地图作为一种文化工具，与语言、艺术并存。地图是客观存在的地理环境的概念模型，是人类认识自然的信息载体。地图把地球表面的位置、形态、动态和内部联系的信息表达在一个二维图形上，使读者能感受、测量、理解和利用。

地图是根据一定的数学法则，将地球（或其他星体）上的自然和人文现象，使用地图语言，通过制图综合，缩小反映在平面上，反映各种现象的空间分布、组合、联系、数量和质量特征及其在时间中的发展变化。

地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。

那么地图是怎么把地表的信息表达在一个图形之上的呢？

科学模型

几何投影 几何投影法是利用透视的原理，将地球表面上的点投影到投影面（借助的几何面）上的一种投影方法。

地球是一个球面体，地球表面上的点位置是用地理坐标（φ, λ）表示的；地图是二维平面图，地图上的点位置是用直角坐标（x, y）或极坐标（r, θ）表示的。从数学角度来说，要把地球表面的各点落实到一个平面上，必须采用一定的数学方法，把地球表面上的地理坐标与平面直角坐标或极坐标建立一一对应关系，即一种函数关系。这种方法就是地图投影方法。

地球表面上任何一点的地理坐标（φ, λ）就是它的经纬度（φ, λ）。投影时要将地理某点坐标（φ, λ）绘制在平面上，然后将球面上的点坐标即经纬度转绘在平面对应的位置，最后把经度与纬度相同的点分别连接而成为经线与纬线，构成二维平面经纬网，即平面坐标系。其数学公式表达为

x=f1（φ, λ）

y=f2（φ, λ）

球面上的点与平面上的点一一对应并建立平面坐标系后，把各个点之间平分为更小的经纬度，展绘成一个实用的经纬网，这样就建立好了地图的平面坐标系。

也可以这么说，假设地球是一个透明的地球仪，在其球心或球面、球外安置一个光源，将球面上的经纬线投影到球外的一个平面上，即将球面经纬线转换成平面上的经纬线。如图2-3-1所示。

除了几何投影法之外，还有几何透视法与数学分析法。几何透视法是一种基础的投影方法，它有一定的实用价值，但也有很大的局限性，因为这种投影，变形程度较高，精确度不足。但其计算简单，绘制方便，可用于制作小比例尺地图。数学分析法是在投影面概念的基础上，通过量化变形，用数学公式来实现椭球面与投影面间的转换。这样计算精度相对较高，对椭球体和球体都适用。

几何投影包括墨卡托投影、圆锥投影和方位投影三大类。下面就对这三种投影方法进一步做出解释。

模型解释

地球是一个三维的球体（并不准确但暂且称其为球体），而地图是一个二维的平面。把三维球体的表面转换到二维的平面的过程叫作投影。投影的种类有很多种，每一个种类都有自己的数学规则。在投影的过程中，因为维度的改变，图形的形变扭曲是无法避免的。因此，在世界地图上，面积、形状、方向和距离的准确性无法全面顾及。

几种常见的投影如下：

1．墨卡托投影

墨卡托投影，是正轴等角圆柱投影。正圆柱投影是将竖向的圆柱面与地球椭球相切或者相割，圆柱轴和地球椭球短轴一致，然后将圆柱面展为平面而成。按等角条件，将经纬网投影到圆柱面上，将圆柱面展为平面后，即得本投影。在墨卡托投影中，所有的经纬线看起来都是平行的直线，经纬线形成矩形，靠近极地的地方会被放大，图中的地表面积有出入，形状变化不大，靠近赤道比较准确。使用墨卡托投影法绘制的地图是不能描述两极的。按圆柱与球面的位置，又可分为正轴、横轴和斜轴三种类型（见图2-3-2）。

2．圆锥投影

圆锥投影就是将一个圆锥套在地球椭球体上，把地球上的经纬线网投影到圆锥面上，再沿某一经线切开而展开成平面而成，如图2-3-3所示。在圆锥投影地图中，所有的经线都是直的，所有的纬线都是圆弧形的。这个圆锥与球面相切或相割，沿着这条相切的纬线，其地表的面积和形状几乎没有变形，但是在靠近圆锥顶部和底部的区域变形非常明显。可见，这种投影方法在小范围区域的精度很高，可用在交通地图和气象图上。圆锥投影分为正圆锥投影、横圆锥投影和斜圆锥投影。

3．方位投影

取一个平面与地球仪相切或相割，以这个平面做投影面，然后将地球仪上的经纬线投影到平面上，形成投影网。按照变形的性质又可分为等角方位投影、等距方位投影和等积方位投影。投影平面与地球仪相切或相割的切点在赤道的称横方位，切点在极点的称正方位，切点在任意点的称斜方位，如图2-3-4所示。方位投影使得地表上的方向和距离都发生变形，但是在长距离飞行和航海中，方位投影非常实用。方位投影也可以分为正方位投影、横方位投影和斜方位投影。

实验活动2-3-1

绘制校园图

● 实验目的

1．掌握地图三要素。

2．初步学会方位测量以及比例尺的选择。

● 实验器材

皮尺，标杆，三角旗，粉笔，A0白纸1张，笔记本，三角尺，铅笔，米尺（最小刻度为毫米），罗盘。

● 实验步骤

按照绘图的一般规律，通常按照顺序进行排列。

1．将所要反映的主要地理事物设计出图例来。

2．确定小区各个地点的方位、方向，并记录下来。

3．测量各个地理事物间的实地距离。

4．选择和设定合适的比例尺。

5．绘制草图，然后进行细加工。

● 建议

采取小组合作的方法。

实验活动2-3-2

方位投影

● 实验目的

1．初步了解投影的方法。

2．观察方位投影带来的面积和形状的改变。

● 实验器材

白纸，铅笔，透明地球仪（能分为两半的），台灯，平面桌子。

● 实验步骤

1．地球仪分为两半，把台灯置于地球仪中心，并固定。

2．用铅笔把投影线条描下来。

3．把描下的地图与地球仪上的地图进行比较。