4．分数

1）一些特殊的分数转换成小数

这些分数很特殊，也很常用，所以建议大家把它们记住。

（1）分母为2的分数转换成小数

1/2=0.5

（2）分母为3的分数转换成小数

,

（3）分母为4的分数转换成小数

1/4=0.25, 2/4=1/2=0.5, 3/4=0.75

（4）分母为5的分数转换成小数

1/5=0.2, 2/5=0.4, 3/5=0.6, 4/5=0.8

（5）分母为6的分数转换成小数

, 3/6=1/2=0.5,,

（6）分母为8的分数转换成小数

1/8=0.125, 2/8=1/4=0.25, 3/8=0.375, 4/8=1/2=0.5, 5/8=0.625, 6/8=3/4=0.75, 7/8=0.875

（7）分母为9的分数转换成小数

（8）分母为10的分数转换成小数

1/10=0.1, 2/10=1/5=0.2, 3/10=0.3, 4/10=2/5=0.4, 5/10=1/2=0.5, 6/10=3/5=0.6, 7/10=0.7, 8/10=4/5=0.8, 9/10=0.9

（9）分母为11的分数转换成小数

（10）分母为7的分数转换成小数

这个比较特殊，循环。记住这一个即可，其他的可以用1/7的小数乘以相应的数得到。

记住这些有什么好处呢？它会方便我们计算一些除法，让我们快速得到答案。

例子：计算17÷8=_______。

解：17÷8=2……1

因为：1÷8=0.125

所以：17÷8=2.125

同理，任何整数除以8，如果不能被整除，有余数：

若有余数是1，小数点后边肯定是0.125。

若有余数是2，小数点后边肯定是0.25。

若有余数是3，小数点后边肯定是0.375。

若有余数是4，小数点后边肯定是0.5。

若有余数是5，小数点后边肯定是0.625。

若有余数是6，小数点后边肯定是0.75。

若有余数是7，小数点后边肯定是0.875。

扩展：

如果除数是11，我们先看看下列的算式。

由以上算式的规律不难看出，任何数除以11如果除不尽，有余数，商的小数部分就是这个余数×0.09…

例子：计算47÷11=_______。

解：先把被除数47能被11整除的部分44和余数3分解开，得到商4余3，然后用余数3乘以，积与商4相加，便是结果。

所以，

如果除数是99，同理，我们来看看下列的算式。

由以上算式的规律不难看出，任何数除以99如果除不尽，有余数，商的小数部分就是这个余数乘以。

例子：计算135÷99=_______。

解：先把被除数135÷99的商和余数分别算出来，商是1，余数是36，然后用，与商的整数相加，便是结果。

所以，

2）通分与约分

（1）概念

①约分。把一个分数的分子、分母同时除以公因数，使分数的值不变，但分子、分母都变小，这个过程叫约分。

②通分。根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫作通分。

③最简分数。分子、分母只有公因数1的分数，或者说分子和分母互质的分数，叫作最简分数，又称既约分数。

（2）方法

①约分

约分时，要注意找它的公约数，然后将所有公约数乘起来就是它们的最大公约数。如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。

约分的步骤如下。

（a）将分子分母分解因数。

（b）找出分子分母公因数。

（c）消去非零公因数。

②通分

通分的关键是确定几个分数的最简公分母，也就是几个分母的最小公倍数。

通分的步骤如下。

（a）先求出原来几个分数（式）的分母的最简公分母。

（b）根据分数（式）的基本性质，把原来分数（式）化成以最简公分母为分母的分数（式）。

（3）例子

①把化成最简分数。

所以化成最简分数为。

②约分。

所以，。

③通分。

2的质因数为2；6的质因数为2、3；9的质因数为3、3。

所以，2、6、9的最小公倍数为2×3×3=18。

3）分数比较大小

（1）化同法

“化同法”是在比较两个分数大小时，将这两个分数的分子或分母化为相同或相近，从而达到简化计算的目的。

化同法一般包括以下三个层次。

①将分子（分母）化为完全相同，从而只需比较分母（或分子）即可。

②将分子（或分母）化为相近之后，出现“某一个分数的分母较大而分子较小”或“某一个分数的分母较小而分子较大”的情况，则可直接判断两个分数的大小。

③将分子（或分母）化为非常接近之后，再利用其他速算技巧进行简单判定。

（2）差分法

我们在做两个分数大小比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别只大一点点，这时候可以使用“差分法”来解决问题。

运用差分法，我们首先定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，把这两个分数的分子、分母分别做差后，将得到的新的分数定义为“差分数”。

在进行大小比较时，我们可以用“差分数”来代替“大分数”，与“小分数”进行大小比较。

①若差分数比小分数大，则大分数比小分数大。

②若差分数比小分数小，则大分数比小分数小。

③若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。

（3）变形式差分法

要比较a×b与c×d的大小，如果a与c相差很小，并且b与d相差也很小，这时候可以将乘法a×b与c×d的比较转化为除法a/d与c/b的比较，这样就可以运用“差分法”来解决类似的乘法问题。

方法：

①求出差分数。

②用差分数代替大分数，与小分数比较。

例子：比较与的大小关系。

解：

而，所以。

（4）分数大小比较的其他方法

方法：

①化同分子法。使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②化同分母法。使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③中间数比较法。确定一个中间数，使所有的分数都和它进行比较。

④化成小数法。把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑤化为整数法。把两个分数同时乘以其中一个分数的分母，使其中一个分数化成整数，与另外一个数进行比较。

⑥倒数比较法。利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑦交叉相乘法。如果第一个分数的分子与第二个分数的分母相乘的积大于第二个分数的分子与第一个分数的分母相乘的积，那么第一个分数比较大。

⑧除法比较法。用一个数除以另一个数，得出的数和1进行比较。

⑨减法比较法。用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑩差等比较法。如果两个真分数的分子和分母的差相等，那么分子和分母比较，大的那个分数比较大。

例子：

（1）比较和的大小。

解：本题可以用倒数比较法。

的倒数为。

的倒数为。

所以。

（2）比较和的大小。

解：本题可以用化成小数法。

所以，。

（3）比较和的大小。

解：这两个真分数的分子和分母的差都是1，而后一个分数的分子和分母比较大，所以，。

注意：有的题目可以用多种分数比较方法，只是看哪种方法更简单而已。