3．乘法

（1）乘法的意义

乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。

在乘法中，相乘两个数叫作因数或乘数，乘得的结果叫作积。如a乘b等于c，写作a×b=c，其中，a和b都叫作因数或乘数，c叫作积。

（2）乘法算式中各部分之间的关系

一个因数×另一个因数=积

积÷一个因数=另一个因数

（3）乘法的计算法则

①整数乘法。从个位开始，先用第二个因数的每一位上的数字分别去乘第一个因数；用第二个因数哪一位上的数字去乘，乘得的积的末位就和那一位对齐。再把几次乘得的数相加。

②小数乘法。按照整数乘法的法则先求出积；然后看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点（位数不够时，用0补足）。

③分数乘法。分数乘分数，分子相乘作分子，分母相乘作分母。有整数的把整数看作分母是1的假分数；有带分数的，通常先把带分数化成假分数再计算。

（4）乘法的运算定律

①交换律。两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。用字母表示：a×b=b×a。

②结合律。三个数相乘，先乘前两个数或者先乘后两个数，积不变。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。

③分配律。两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c。

（5）乘法的验算

①用乘法验算。利用乘法交换律，把两个因数交换位置，再乘一次，如果两次计算的结果相同，就说明计算是正确的。

②用除法验算。用第一次计算所得的积，除以其中一个因数，如果得到的结果与另一个因数相同，就说明计算是正确的。

（6）积的变化规律

①乘法中，一个因数乘以（或除以）一个数（不为0），另一个因数不变，积也乘以（或除以）这个数。

用字母表示：若a×b=c，则（a×m）×b=c×m（m≠0），（a÷m）×b=c÷m（m≠0）。

②一个因数乘以（或除以）一个数（不为0），另一个因数除以（或乘以）这个数，它们的积不变。

用字母表示：若a×b=c，则（a×m）×（b÷m）=c（m≠0），（a÷m）×（b×m）=c（m≠0）。

1）用补数法做乘法

如果一个乘数接近整十、整百、整千或整万时，用补数法做乘法可以使其计算过程变简单。

方法：

（1）将接近整十、整百、整千或整万的数用整数－补数的形式写出来。

（2）用另一个乘数分别与这个整数和这个补数相乘，再相减。

例子：计算857×990=_______。

解：

原式=857×（1000-10）=857×1000-857×10=857000-8570=848430

所以，857×990=848430。

2）用中间数做乘法

我们已经知道如何计算数的平方了，而且有一些常用的数的平方我们已经可以记住了。有了这个基础，可以运用因数分解法来使某些符合特定规律的乘法转变成简单的方式进行计算。这个特定的规律就是相乘的两个数之间的差必须为偶数。

方法：

（1）找出被乘数和乘数的中间数（只有相乘的两个数之差为偶数，它们才有中间数）。

（2）确定被乘数和乘数与中间数之间的差。

（3）用因数分解法把乘法转变成平方差的形式进行计算。

例子：计算17×13=_______。

解：首先找出它们的中间数为15（求中间数很简单，即将两个数相加除以2即可，一般心算即可求出）。另外，计算出被乘数和乘数与中间数之间的差为2。

所以，

17×13=（15+2）×（15-2）=152-22=225-4=221

所以，17×13=221。

注意：被乘数与乘数相差越小，计算越简单。

3）用拆分法做两位数乘法

我们知道一个两位数或者一个三位数乘以一位数比两位数乘以两位数要更容易计算，所以，两位数乘法中，如果被乘数或者乘数可以分解成两个一位数的乘积，那么可以把两位数乘法转换成一个两位数或者三位数乘以一位数的问题来简化计算。

方法：

（1）把其中一个两位数分解成两个一位数的乘积。

（2）用另外一个两位数与第一个一位数相乘。

（3）用第（2）步的结果（可能是两位数，也可能是三位数）与第二个一位数相乘。

例子：计算51×24=_______。

解：24=4×6

51×4=204

204×6=1224

所以，51×24=1224。

当然，本题也可以把24拆分成3×8。即：

24=3×8

51×3=153

153×8=1224

所以，51×24=1224。

注意：本方法可以扩展成多位数与两位数相乘。

4）用错位法做乘法

错位法，一般又叫作错位相减法（偶尔也会用到错位相加法），是在数列求和或分数计算中比较常用的方法。

错位法多用于等比数列与等差数列相乘的形式。即形如An=BnCn的数列，其中｛Bn｝为等差数列，｛Cn｝为等比数列。分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q·Sn；然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫作错位相减法。

例如：

在①的左右两边同时乘上a。

用①－②，得：

即：（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-1+an-nan+1

其中，a+a2+a3+…+an-1+an可以用等比数列的求和公式进行计算。

由此得到：

最后在等式两边同时除以（1-a），就可以得到Sn了。

本方法与十字相乘法原理是一致的，只是写法略有不同，大家可以根据自己的喜好选择。

方法：

（1）以两位数相乘为例，将被乘数和乘数的各位上的数字分开写。

（2）将乘数的个位分别与被乘数的个位和十位数字相乘，将所得的结果写在对应数位的下面。

（3）将乘数的十位分别与被乘数的个位和十位数字相乘，将所得的结果写在对应数位的下面。

（4）结果的对应的数位上的数字相加，即可。

例子：计算97×26=_______。

解：

结果为2522。

所以，97×26=2522。

注意：

（1）应对准数位。乘数的某一位与被乘数的各个数位相乘时，结果的数位依次前移一位。

（2）本方法适用于多位数乘法。

5）用节点法做乘法

方法：

（1）将乘数画成向左倾斜的直线，各个数位分别画。

（2）将被乘数画成向右倾斜的直线，各个数位分别画。

（3）两组直线相交有若干的交点，数出每一列交点的个数和。

（4）按顺序写出这些和，即为结果（注意进位）。

例子：计算112×231=_______。

解：解法如图2-2所示。

所以，112×231=25872。

6）用网格法做乘法

方法：

（1）以两位数乘法为例，把被乘数和乘数分别拆分成整十数与个位数，写在网格的上方和左方。

（2）对应的数相乘，将乘积写在格子里。

（3）将所有格子填满后，计算它们的和，即为结果。

例子：计算586×127=_______。

解：解法如图2-3所示。

再把格子里的9个数字相加：50000+8000+600+10000+1600+120+3500+560+42=74422。

所以，586×127=74422。

注意：此方法适用于多位数乘法。

7）用三角格子做乘法

方法：

（1）把被乘数和乘数分别写在格子的上方与右方。

（2）对应的数位相乘，将乘积写在三角格子里，上面写十位数字，下面写个位数字，没有十位的用0补足。

（3）斜线延伸处为几个三角格子里的数字的和，这些数字即为乘积中某一位上的数字。

（4）注意进位。

例子：计算1024×58=_______。

解：解法如图2-4所示。

结果为59392。

所以，1024×58=59392。

注意：此方法适用于多位数乘法。

8）用面积法做两位数乘法

方法：

（1）把被乘数和乘数十位上数字的整十数相乘。

（2）交叉相乘，即把被乘数的整十数和乘数个位上的数字相乘，再把乘数整十数和被乘数个位上的数字相乘，将两个结果相加。

（3）把被乘数和乘数个位上数字相乘。

（4）把前三步所得结果加起来，即为结果。

推导：

我们以47×32=________为例，可以画出图2-5所示图例。

可以看出，图1-12中的面积可以分为a、b、c、d四个部分，其中，a部分为被乘数和乘数十位上数字的整十数相乘；b部分为被乘数个位和乘数整十数相乘；c部分为乘数个位和被乘数整十数相乘；d部分为被乘数和乘数个位上数字相乘。和即为总面积。

例子：计算32×17=_______。

解：30×10=300

30×7+10×2=210+20=230

2×7=14

300+230+14=544

所以，32×17=544。