2．整数

1）因数与倍数

（1）概念

因数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数。

公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。

互质数：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫作互质数。

（2）性质

因数与倍数的性质如下。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。倍数和因数是相互存在的。0是任何整数的倍数。

（3）因数

①表示一个数的因数的方法

（a）列举法。即把一个数的因数按从小到大的顺序列出来。

例子：表示出36的因数。

解：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

（b）集合法。即把一个数的因数按从小到大的顺序写在集合圈里。

例子：表示出36的因数。

解：36的因数如图1-1所示。

②求一个数的因数的方法

（a）用乘法找。

用乘法找就是用因数和倍数的关系来找。

例子：找出36的所有因数。

解：首先我们在自然数的范围内找出所有乘积为36的乘法算式。一般我们会从1开始找起。

1×36=36, 2×18=36, 3×12=36, 4×9=36, 6×6=36

所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因数。

（b）用除法找。

用除法找，就是用整除的意义来找。

例子：找出36的所有因数。

解：首先我们找出36除以哪些数可以整除。一般我们会从1开始找起。

36÷1=36, 36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6

所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因数。

③求一个数有多少个因数

求一个数有多少个因数，可以将这个数分解质因数，然后将相同的因数的积用an的形式表示出来，最后给各因数的指数加1，然后将所得的和连乘，积就是这个数的因数的个数。

例子：求180的因数的个数。

解：

180=2×2×3×3×5=22×32×51

所以，180的因数的个数为（2+1）×（2+1）×（1+1）=18（个）。

④最大公因数的性质

（a）几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。

（b）几个数的最大公因数都是这几个数的因数。

（c）几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。

（d）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以m。

⑤求最大公因数的基本方法

（a）分解质因数法。先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

几个自然数的最大公因数必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此我们可以先把各个数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出来并连乘起来，所得的积就是要求的最大公因数。

例子：求18和24的最大公因数。

解：先分别分解质因数。

18=2×3×3

24=2×2×2×3

公有的质因数为2和3，所以18和24的最大公因数是2×3=6。

（b）短除法。先找公有的因数，然后相乘。

用几个数公有的质因数从小到大依次作为除数，分别去除这几个数，把除得的商写在该数的下方，一直除到这几个商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。

例子：求18和24的最大公因数。

解：根据图1-2可知，18和24的最大公因数是2×3=6。

（c）辗转相除法。每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。

具体方法：先用较小的数去除较大的数，再用出现的余数（第一余数）去除除数。接着再用出现的第二余数去除第一余数……直到没有余数为止。最后的除数就是两个数的最大公因数。

例子：求18和24的最大公因数。

解：先用24÷18=1……6；

再用18÷6=3，没有余数；

所以，18和24的最大公因数是6。

（d）特殊方法。

如果两个数互质，则它们的最大公因数是1；如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

（4）倍数

①表示一个数的倍数的方法

（a）列举法。

列举法即把一个数的倍数按从小到大的顺序列出来。因为一个数的倍数是无限多个的，无法一一列举，所以后面可以用省略号表示。

例子：表示出2的倍数。

解：2的倍数有2、4、6、8、10、…

（b）集合法。

集合法即把一个数的倍数按从小到大的顺序写在集合圈里。因为一个数的倍数是无限多个的，无法一一列举，所以后面可以用省略号表示。

例子：表示出2的倍数。

解：2的倍数如图1-3所示。

②求一个数的倍数的方法

用这个数分别去乘自然数1、2、3、4、…就可以得出这个数的倍数。

例子：找出5的倍数。

解：我们用5分别与自然数1、2、3、4、5、…相乘即可。

5×1=5, 5×2=10, 5×3=15, 5×4=20, 5×5=25, …

所以，5的倍数为5、10、15、20、25、…

③最小公倍数的性质

（a）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

（b）两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

④求最小公倍数的基本方法

（a）分解质因数法。

求两个数的最小公倍数，先把每个数分解质因数，再把这两个数的公有的所有质因数和其中每个数独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。

例子：求18和24的最小公倍数。

解：先分别分解质因数。

18=2×3×3

24=2×2×2×3

公有的质因数为2和3，18独有的质因数为3，24独有的质因数为2和2。

所以，18和24的最小公倍数2×3×3×2×2=72。

（b）短除法：先找公有的因数，然后相乘。

用几个数公有的质因数从小到大依次作为除数，分别去除这几个数。在连除时，如果某个数不能被除数整除，就把这个数写在下方，直到得出的商两两互质为止。然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例子：求18、24和36的最小公倍数。

解：根据图1-4可知，18、24和36的最小公倍数是2×3×3×2×1×2×1=72。

（c）利用最大公因数求最小公倍数。

因为两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以，我们可以用这两个的乘积除以它们的最大公因数，得到的结果即为这两个数的最小公倍数。

例子：求12和18的最小公倍数。

解：12和18的最大公因数是6。

12×18÷6=36

所以，12和18的最小公倍数是36。

（d）特殊方法。

如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是这两个数的乘积；如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

2）整除的特性

如果一个整数a除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫作a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

有些题目，可以利用数的整除特性，根据题目中的部分条件，并借助于选项提供的信息进行求解。一般来说，这类题目的数量关系比较隐蔽，需要一定的数字敏感性才能发掘出来。

（1）数的整除性质

①对称性。若a能被b整除，b也能被a整除，那么a、b两数相等。

②传递性。若a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

③如果a、b都能被c整除，那么（a+b）、（a-b）与a×b也能被c整除。

④如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

⑤如果a能被c整除，a能被b整除，且b与c互质，那么a能被b×c整除。

⑥如果a能被b×c整除，且b与c互质，那么a能被b整除，a也能被c整除。

⑦若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

⑧几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。

（2）判断数能否被整除

判断一个数能否被特殊数字整除的方法如下。

①判断一个数能否被2整除，只需判断其个位数字能否被2整除。

②判断一个数能否被3整除，只需判断其各位数字之和能否被3整除。

③判断一个数能否被5整除，当一个数的个位为0或5时，此数能被5整除。

④判断一个数能否被7整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

⑤判断一个数能否被9整除，只需判断其各位数字之和能否被9整除。

⑥判断一个数能否被11整除，将此数的奇位数字之和与偶位数字之和相减，若差能被11整除，则此数能被11整除。

⑦判断一个数能否被13整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数字的4倍，和如果是13的倍数，则原数能被13整除。

⑧判断一个数能否被17整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数字的5倍，差如果是17的倍数，则原数能被17整除。

⑨判断一个数能否被19整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数字的2倍，和如果是19的倍数，则原数能被19整除。

⑩判断一个数能否被6、10、14、15等数整除，只要判断这个数能否同时被分解出来的两个因数整除即可。因为我们知道，6=2×3，10=2×5，14=2×7，15=3×5。

（3）数的整除特征

一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。

①1与0的特性：1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数。

②若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

③若一个整数的数字和能被3（9）整除，则这个整数能被3（9）整除。

④若一个整数的末尾两位数能被4（25）整除，则这个数能被4（25）整除。

⑤若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

⑥若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

⑦若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

⑧若一个整数的末三位数能被8（125）整除，则这个数能被8（125）整除。

⑨若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

⑩若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除（不够减时依次加11直至够减为止）。

⑪若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

⑫若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只需看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

另外的方法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若能被7（11或13）整除，则原多位数也能被7（11或13）整除。

⑬若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

⑭若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

⑮若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

⑯若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

⑰若一个整数的末四位与5倍的前面的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。

3）奇数与偶数

（1）概念

在整数中，不能被2整除的数叫作奇数，能被2整除的数叫作偶数。日常生活中，人们通常把奇数叫作单数，把偶数叫作双数。奇数跟偶数是相对的。

所有整数不是奇数（单数），就是偶数（双数）。

（2）性质

关于奇数和偶数，有下面一些性质。

①两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数。

②奇数跟奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数；奇偶性相同的两数之和为偶数；奇偶性不同的两数之和为奇数。

③两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数。

④奇数个奇数与任意个偶数相加减时，得到的结果（和或差）必为奇数；偶数个奇数与任意个偶数相加减时，得到的结果（和或差）必为偶数。

⑤奇数与奇数的积是奇数；偶数与偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数。

⑥n个奇数的乘积是奇数；n个偶数的乘积是偶数；n个数相乘，其中有一个是偶数，则乘积是偶数。

⑦奇数的个位一定是1、3、5、7、9；偶数的个位一定是0、2、4、6、8。所以，在十进制里，可以用看个位数的方式判定该数是奇数（单数）还是偶数（双数）。

⑧除2之外，所有的正偶数均为合数。

⑨相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。

⑩偶数的平方可以被4整除，奇数的平方除以2、4、8余1。

⑪任意两个奇数的平方差是2、4、8的倍数。

⑫每个奇数与2的商都余1。

⑬著名数学家毕达哥拉斯发现一个有趣的奇数现象：将奇数连续相加，每次的得数正好是一个平方数。

如：

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

1+3+5+7+9+11=62

1+3+5+7+9+11+13=72

1+3+5+7+9+11+13+15=82

1+3+5+7+9+11+13+15+17=92

…

4）质数与合数

质数除了1和它本身外没有其他约数，合数除了1和它本身外还有其他约数。根据这个特点，即可把整数进行区分。

注意：1既不是质数也不是合数；最小的质数是2；除了2以外，所有的质数都是奇数；最小的合数是4。

（1）判断质数的方法

①查表法

查质数表内有没有要查的数，若有它就是质数；若没有它就是合数（1000以内的质数，如图1-5所示）。

对于常用的质数，我们最好能把它们记住，这样对类似题目的运算有很大帮助。

100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

例子：请根据给出数字之间的规律，填写空缺处的数字。

2、4、7、12、19、（ ）

A．21

B．27

C．30

D．41

解：计算相邻两个数之差，我们会发现分别为2、3、5、7、…这是一个质数数列，所以下一个数字应该是19+11=30。

答案是选项C。

②试除法

可以用2、3、5、7、11、13等质数依次去除要查的数，当除得的商比除数小的时候，就不用再除了，就可以判定要查的数是不是质数了。如果没有一个质数是它的因数，那么这个数就是质数。

（2）分解质因数

把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程，叫作分解质因数。

分解质因数只针对合数（分解质因数也称分解素因数）。求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫作短除法，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式。

不存在最大质数的证明：（使用反证法）

假设存在最大的质数为N，则所有的质数序列为N1、N2、N3、…、N。

设M=（N1×N2×N3×N4×…×N）+1，

可以证明M不能被任何质数整除，得出M也是一个质数。

而M＞N，与假设矛盾，故可证明不存在最大的质数。

（3）分解质因数的方法

①塔式分解法

对于一个较小的合数，我们可以采用塔式分解法来分解质因数，如图1-6的（a）和（b）所示。所以，48=2×2×2×2×3。

②短除法

短除法就是在被除数的左边写出除数（从最小的质数开始除起），在被除数的下面直接写出商来。如果得出的商是质数，就把除数和商写成相乘的形式；如果得出的商还是合数，就按照前面的方法继续除，直到得到的商是质数为止，然后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。例如，根据图1-7可知，48=2×2×2×2×3。

（4）求一个合数的因数个数的简便方法

要用简便方法求一个合数的因数个数，先把这个合数分解质因数，再把相同质因数用幂的形式表示，然后给每个质因数的指数分别加1，再相乘，其积就是这个合数的因数的个数。

例子：求120的因数个数。

解：先分解质因数。

120=2×2×2×3×5=23×3×5

这些质因数的指数分别为3、1、1，所以，120有（3+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）因数。

5）哥德巴赫猜想

1742年，德国著名数学家哥德巴赫在给欧拉的信中提出了以下两个大胆的猜想。

（1）任何不小于4的偶数，都可以是两个质数之和（如4=2+2）。

（2）任何不小于7的奇数，都可以是三个质数之和（如7=2+2+3）。

之所以叫猜想，就是因为哥德巴赫无法证明它。这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此，只需证明第一个猜想是正确的就足够了。

欧拉给哥德巴赫回信时说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉据此又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。这个命题他也没能给予证明。

现在的哥德巴赫猜想陈述主要为欧拉的这个版本，又称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。

20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛选法、圆法、密率法和三角和法等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。

设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数（即素数因子）的和，即N=A+B，其中A和B的素数因子个数都不太多。

用“a+b”来表示以下命题：每个大偶数N都可表示为A+B，其中A和B的素数因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。在这一方向上的进展都是用所谓的筛选法得到的。

1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个所谓的“9+9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其他两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。”从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1+1”。

1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。很快，“6+6”“5+5”“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。1957年，中国数学家王元证明了“2+3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。1965年，苏联数学家证明了“1+3”。

1966年，中国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。”这被世界数学界称为“陈氏定理”。

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。