第三节古典概型与几何概型_概率论与数理统计-QQ阅读男生轻小说网

书名：概率论与数理统计
作者名：庞淑萍孙伟
本章字数：1861字
更新时间：2020-08-28 21:53:34

第三节　古典概型与几何概型

一、古典概型

本节我们讨论一类比较简单的随机试验，随机试验中每个样本点的出现是等可能的情形.

引例　一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，3个红色球，7个黑色球，从中任取一球，显而易见，任一球被抽到的可能性是相同的，均为，且该试验的样本空间为Ω={红色，黑色}.

［定义1］　若一个随机试验满足如下条件：

①基本空间只有有限多个元素（基本事件），即只有有限个试验结果

Ω={A1，A2，A3，…，An}；

②基本事件A1，A2，A3，…，An出现的可能性相等.

则随机试验称为古典概型.

例如，掷一枚质地均匀的骰子，是一个古典概型；又如，从装有3红、5白、2黑三色球的盒子中任取一个观察其颜色后放回，也是一个古典概型.

［定义2］　在古典概型下，若基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为k，则事件A发生的概率为，记作

即事件A的概率P（A）为A中包含的基本事件个数k与基本事件总数n的比值，称这种概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.

例如，上面第二个古典概型中，设A=“任取一球为红球”，则k=3，n=10，所以

而每一个球被取到的概率相等，都是，这正反映了等可能性的事实.由此可以看到，为了计算事件A的概率，有时不必将Ω的元素一一列出，而只需求出Ω中基本事件总数n和A中包含的基本事件数k.

【例1-3-1】　抛一枚质地均匀的硬币，求“反面向上”的概率.

解：此试验只有两个结果A1=“正面向上”，A2=“反面向上”，于是Ω={A1，A2}具有有限性；又由硬币质地均匀可知，A1和A2发生的可能性相等，所以是古典概型.故

【例1-3-2】　保险箱的号码锁若由四位数字组成，问一次就能打开保险箱的概率是多少？

解：由于四个位上的数字可以重复，所以可能的号码有104个，即n=104.

设A=“一次打开保险箱”，则k=1，于是

也就是说，一次就能打开保险箱的概率是万分之一.

【例1-3-3】　口袋中有10张卡片，其中2张有奖，两个人依次从口袋中摸出一张，问第一人和第二人中奖的概率各是多少？

解：设A1=“第一人中奖”，A2=“第二人中奖”，由古典定义有

【例1-3-4】　盒中有2个红球，3个白球，从中任取两个球，试求：

（1）两个中恰有一个白球的概率；

（2）两个都是白球的概率；

（3）两个中至少有一个白球的概率.

解：从5个球中任取两个，设事件A1=“两个中恰有一个白球”，A2=“两个都是白球”，A=“两个中至少有一个白球”，则

A=A1∪A2.

由于A1和A2互不相容，且

所以　　

【例1-3-5】　从0，1，2，3这四个数字中任取三个进行排列，求“取到的三个数字排列成三位偶数”的概率.

解：设A=“取得的三位数字排成三位偶数”

A1=“排成个位为0的三位偶数”，A2=“排成个位为2的三位偶数”，则

A=A1∪A2

由于A1、A2互不相容，且

所以　　

【例1-3-6】　一批产品有50件，其中45件合格品，5件不合格品，从这批产品中任取3件，求其中至少有一件不合格品的概率.

解：设A=“至少有一件不合格品”，则“全是合格品”，于是

读者可用加法公式解此题，并加以比较.

二、几何概型

古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型，这限制了它的使用范围，这里我们进一步研究样本空间为一线段、一平面区域或一空间立体等的等可能随机试验的概率模型，即保留等可能性，允许试验结果为无限个，这种试验模型为几何概型.

①设样本空间S是平面上某一区域，它的面积为μ（S）；

②向区域S上随机投掷一点，随机投掷的含义是：该点落入S内任何部分区域内的可能性只与该部分区域的几何测度成正比，而与其位置和形状无关，如图1-3-1所示，向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的事件仍记为A，则A的概率为P（A）=λμ（A），其中λ为常数，而P（S）=λμ（S），于是得λ=，从而事件A的概率为