*§4　条件数学期望

现将两个球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中，Xi表示第i个盒子内球的个数（i=1，2）。试求，在第2个盒子中有一个球的条件下第1个盒子内球的个数的平均值。

首先，可以求出（X1，X2）的联合分布及其关于X2的边缘分布，见下表

再者，求出在X2=1条件下关于X1的条件分布

这样，可以求出在X2=1条件下，关于X1的平均值，记为E（X1｜X2=1），即

一般地，设（X，Y）是二维离散型随机变量，P{X=xk｜Y=y}是在Y=y条件下随机变量X的条件分布律，X在条件分布律P{X=xk｜Y=y}下的数学期望，称为随机变量X在条件Y=y下的期望，记作E（X｜Y=y），即

同样，对二维连续型随机变量（X，Y），若fX｜Y（x｜y）是在Y=y条件下随机变量X的条件概率密度，X在条件密度fX｜Y（x｜y）下的数学期望，称为随机变量X在条件Y=y下的期望，记作E（X｜y），即

显然，无论是离散型还是连续型随机变量，E（X｜Y=y）是Y的函数，记作ψ（Y），它是随机变量Y的函数。所以，ψ（Y）也是随机变量。

定义4.1　设（X，Y）是二维离散型随机变量，P{X=xk｜Y=y}（k=1，2，…）是在Y=y条件下随机变量X的条件分布律，若级数绝对收敛，则称随机变量ψ（Y）是X关于Y的条件期望，记作E（X｜Y），即

　　 （4.1） 　　

定义4.1'　设（X，Y）是二维连续型随机变量，fX｜Y（x｜y）是在Y=y条件下随机变量X的条件概率密度，若积分绝对收敛，则称随机变量ψ（Y）是X关于Y的条件期望，记作E（X｜Y），即

　　 （4.2） 　　

注　当Y=y时，ψ（y）是X在Y=y条件下的条件期望值，是X关于Y的条件期望这一随机变量ψ（Y）的取值。

同样可以定义Y关于X的条件期望φ（X），记作E（Y｜X），其中φ（x）=E（Y｜X=x）。

【例1】　设X～P（λ1），Y～P（λ2），且X与Y相互独立，求在X+Y=k（k为非负整数）下X的条件数学期望。

　　 解　因为 

【例2】　设，求E（Y｜X）。

解　由第二章§3例9知，在X=x下Y的条件密度函数为

所以 　　

从而，这是X的线性函数，故E（Y｜X）是随机变量，类似可得

条件数学期望有下列性质：

设X，Y，Z均为同一样本空间上的随机变量，g（x）为连续函数，且E（X），E（Y），E（Z）与E［g（Y）X］均存在，则

（1）当X与Y相互独立时，E（X｜Y）=E（X）；

（2）E［E（X｜Y）］=E（X）；

（3）E［g（Y）·X｜Y］=g（Y）·E（X｜Y）；

（4）E［g（Y）·X］=E［g（Y）·E（X｜Y）］；

（5）E（C｜Y）=C，C为常数；

（6）E［g（Y）｜Y］=g（Y）；

（7）E［aX+bY｜Z］=aE（X｜Z）+bE（Y｜Z）；

（8）E［X-E（X｜Y）］2≤E［X-g（Y）］2。

证　（1）仅就（X，Y）为连续型时给以证明。

由于X与Y相互独立，故，所以对任意实数y

（2）当（X，Y）为连续型随机变量时

　　 即 　　 　　 （4.3）

当（X，Y）为离散型随机变量且Y只取有限个值yj（j=1，2，…，n）时

如果记事件{Y=yj}为Aj，则

　　 （4.4） 　　

称式（4.3）、式（4.4）为全数学期望公式（类似于全概率公式）。

（3）只需证，对任意固定的y，有

E［g（y）·X｜y］=g（y）E（X｜y）

成立即可。仅就（X，Y）为连续型随机变量时给以证明。事实上，由定义有

（4）由（2）和（3）得

E［g（Y）·X］=E{E［g（Y）·X｜Y］}=E［g（Y）E（X｜Y）］

（5）由（1）即得。

（6）由（3）和（5）即得。

（7）由定义直接可得。

（8）即要证，对任意固定的y，当g（y）=E（X｜y）时，E［X-g（y）］2为最小。今就连续型的情形证明如下

由第三章习题第10题知，当g（y）=E（X｜Y=y）时，积分fX｜Y（x｜y）dx达到最小，因而E［x-g（Y）］2为最小。

【例3】　（矿工脱险问题）一矿工在有三扇门的矿井中迷了路，第一扇门通到一坑道走3小时可使他到达安全地点；第二扇门通向使他走5小时后又回到原地点的坑道；第三扇门通向使他走了7小时后又回到原地点的坑道。如果他在任何时刻都等可能地选定其中一扇门。试问他到达安全地点平均要花多少时间？

解　设X表示他到达安全地点所需要的时数，Y表示他最初选定门的号数，则

由全数学期望公式，所求平均时数为

而E（X｜Y=1）=3，E（X｜Y=2）=5+E（X），E（X｜Y=3）=7+E（X），所以

解之得　　E（X）=15（小时）