习题一

1.设A，B，C表示三个事件，利用A，B，C表示下列事件：

（1）A出现，B，C都不出现；

（2）A，B都出现，C不出现；

（3）三个事件都出现；

（4）三个事件中至少有一个出现；

（5）不多于一个事件出现；

（6）三个事件都不出现；

（7）不多于两个事件出现；

（8）三个事件中至少有两个出现。

2.下面两式分别表示A，B两个事件之间有什么关系？

（1）A∩B=A；（2）A∪B=A。

3.设U={1，2，…，10}，A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}。具体写出下列各式表示的集合：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。

4.设一个工人生产了4个零件，又Ai表示事件“他生产的第i个零件是正品”（i=1，2，3，4）。试用Ai表示下列各事件：

（1）没有一个产品是次品；

（2）至少有一个产品是次品；

（3）只有一个产品是次品；

（4）至少有三个产品不是次品。

5.设A，B，C表示三个事件，指出下列各题中哪些成立，哪些不成立。

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）若A⊂B则A=AB；（6）若AB=Φ和C⊂A，则BC=Φ；（7）若B⊂A，则A∪B=A。

6.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

7.一口袋中有5个红球及2个白球。从这袋中任取一球，看过它的颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球，设每次取球时口袋中各个球被取得的可能性相同，求

（1）第一次、第二次都取得红球的概率；

（2）第一次取得红球、第二次取得白球的概率；

（3）两次取得的球为红、白各一的概率；

（4）第二次取得红球的概率。

8.从0，1，2，3四个数字中任取三个进行排列，求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

9.问某宿舍的4个学生中至少有2个人的生日是在同一个月的概率是多少？

10.某城市有50％住户订日报，有65％住户订晚报，有85％住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。

11.对于任意三个事件A，B，C，证明

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

12.设A，B，C是三事件，且，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=，求

（1）A，B，C至少有一个发生的概率；

（2）A，B，C都不发生的概率。

13.在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，…，9）。

14.两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率。

15.设一个口袋中有四个红球及三个白球。从这口袋中任取一个球后，不放回去，再从口袋中任取一个球。设A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得红球”，求P（B）及P（B｜A）。

16.一批零件共100个，次品率为10％。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。

17.在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任取3个球，赛后放回盒中，在第二次比赛时同样地任取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。

18.设甲袋中有三个红球及一个白球，乙袋中有四个红球及两个白球，从甲袋中任取一个球（不看颜色）放到乙袋中后，再从乙袋中任取一球。用全概率公式求最后取得红球的概率。

19.两台车床加工同样的零件，第一台加工后的废品率为0.03，第二台加工后的废品率为0.02。加工出来的零件放在一起，已知这批加工后的零件中由第一台车床加工的占。求从这批零件中任取一件得到合格品的概率。

20.发报台分别以0.6和0.4发出信号“·”和“-”，由于通讯系统的干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到“·”和“-”；同样，当发报台发出信号“-”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-”和“·”，求

（1）收报台收到信号“·”的概率；

（2）当收报台收到信号“·”时，发报台确是发出信号“·”的概率。

21.为了防止意外，在矿内同时设有两个报警系统A与B，每个系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求

（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；

（2）B失灵的条件下，A有效的概率。

22.10个考签中有4个难签。3人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后，证明3人抽到难签的概率相等。

23.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/4，1/3。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

24.设甲、乙、丙三人同时各自独立地对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定击落。求飞机被击落的概率。

25.设三台机器相互独立地运转着，第一台、第二台、第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7。求这三台机器全不发生故障及它们中至少有一台发生故障的概率。

26.对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90％，而当机器发生某一故障时，其合格率为30％，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75％。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？

27.设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？

28.设电灯泡的耐用时数为1000小时以上的概率为0.2，求三个电灯泡在使用1000小时以后最多只有一个损坏的概率，设这三个电灯泡是相互独立地使用的。

29.现有外包装完全相同的优、良、中3个等级的产品，其数量完全相同，每次取一件，有放回地连续取3次，计算下列各事件的概率：A=“3件都是优质品”；B=“3件都是同一等级”；C=“3件等级全不相同”；D=“3件等级不全相同”；E=“3件中无优质品”；F=“3件中既无优质品也无中级品”；G=“无优质品或无中级品”。

30.某牌灯泡使用到1000小时的概率为0.8，使用到1500小时的概率为0.3，现有该牌灯泡已使用了1000小时，求该灯泡能使用1500小时的概率。

31.设A，B，C是三个相互独立的事件，且0<P（A）<1，试证与C相互独立。

32.假设一家生产的每台仪器以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后，以概率0.80可以出厂，以概率0.2定为不合格不能出厂，现该厂生产了n（n≥2）台仪器（假设每台仪器的生产过程相互独立），求

（1）全部能出厂的概率α；

（2）其中恰有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ。