第二节　矩阵的运算

要深入探讨矩阵概念的作用，就需要研究矩阵的运算、性质等理论。到1858年，英国数学家哈密尔顿（W.R.Hamilton）和凯莱（A.Cay-ley）的著作中最早出现了矩阵的运算。本节我们来介绍矩阵的加法、数乘与矩阵的乘法等运算。

一、矩阵的加法

定义2.3　设A=（aij）m×n与B=（bij）m×n是两个同规模的矩阵，那么矩阵A与B的和（Addition of matrices）记为A+B，规定为

由定义不难证明，矩阵的加法满足下列运算规律：

性质2.1　设A，B，C是同规模的矩阵，则

（1）A+B=B+A（加法交换律）；

（2）（A+B）+C=A+（B+C）（加法结合律）；

（3）A+O=A，其中O是与A同规模的零矩阵。

二、数乘矩阵

定义2.4　数k与矩阵A=（aij）m×n的数量乘积矩阵，简称为数乘矩阵（Scalar multiplication of matrices），记为kA，规定为

由定义可知，数乘矩阵是用数k乘矩阵的每一个元素。需要注意的是，在矩阵为方阵时，数乘矩阵与数乘矩阵的行列式是不同的。另外常简记

（-1）A=-A，　-（-A）=A

-A又叫做A的负矩阵。由此，两个矩阵的减法运算可定义为

A-B=A+（-B）

不难证明，矩阵的数乘满足下列运算规律：

性质2.2　设A，B是同规模的矩阵，k，l是常数，则

（1）1A=A；

（2）k（lA）=（kl）A；

（3）k（A+B）=kA+kB；

（4）（k+l）A=kA+lA；

（5）kA=O，当且仅当k=0或A=O。

三、矩阵的乘法

矩阵的乘法，是因为研究n维向量线性变换的需要而规定的一种矩阵之间的乘法运算。矩阵乘法的特殊性决定了矩阵运算必然会具有一些特殊的性质。

定义2.5　设A=（aij）m×s是m×s矩阵，B=（bij）s×n是s×n矩阵，那么规定矩阵A与B的乘积（product of matrices）AB是一个m×n矩阵C=（cij）m×n，其中

　　 （2.4） 　　

记为C=AB。式（2.4）表明，乘积矩阵AB的i行j列位置上的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。

【例2.2】　设

求AB，BA。

解　按照矩阵乘法的定义，不难得到

【例2.3】　设

求AB，BA。

解　按照矩阵乘法，可得

AB=（a1b1+a2b2+…+anbn）=a1b1+a2b2+…+anbn

从本题的结果可见，上述行矩阵与列矩阵相乘的结果是1×1的矩阵，也就是一个数。而次序反过来，列矩阵与行矩阵相乘的结果是个n×n的矩阵，不过这个矩阵的各行或各列元素都是对应成比例的。

这个基本结论是很多矩阵应用的基础。比如，在信息处理中常常把一个复杂的矩阵分解为若干个像上述矩阵那样简单的矩阵之和；而在最优化学科中，矩阵的“低秩修正”问题，正是通过上述类型的特殊矩阵来实现的。

【例2.4】　设A=（aij）m×n是任意矩阵，而

是m阶对角矩阵，求BA。

解　由矩阵乘法，显然有

即对任意矩阵A左乘一个对角矩阵，其结果就是把对角矩阵的主对角线上的元素分别乘到矩阵A的各行对应元素上去。特别的，假如该对角矩阵就是一个单位矩阵，则用单位矩阵左乘任意矩阵A，其结果仍然等于矩阵A本身。

建议大家自己去考虑，对任意矩阵A用一个n阶的对角矩阵右乘它，又能得到什么样不同的结果呢？

矩阵乘法定义的提出完全是来自于实际问题的需要，因而矩阵乘积运算在很多实际问题中都有非常广泛的应用。例如，设有两个线性变换

　　 （2.5） 　　

与

　　 （2.6） 　　

它们的系数矩阵分别是

若想得到用变量x1，x2来表示变量z1，z2的关系，只要把式（2.6）代入到式（2.5）之中，即有

　　 （2.7） 　　

从变量x1，x2到变量z1，z2的线性变换式（2.7）的系数矩阵为

这个系数矩阵恰好是矩阵A与B的乘积，即有C=AB。这个结论请大家去验证。

关于矩阵乘积，需要注意以下几点。

1.不是任何两个矩阵都可以相乘

从矩阵乘法的定义可见，只要当左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，这两个矩阵的乘积才有意义。这种关系可用下图来表示

2.矩阵的乘法不满足交换律

从矩阵乘法的规定，AB有意义，但BA不一定有意义。当AB，BA都有意义时，两个不同次序的乘积矩阵也不一定有相同的规模，因而更谈不上相等。即使AB与BA两者都有意义并且也有相同的规模，乘积矩阵往往也是不相等的。

例如

则有 　　

显然AB≠BA。

可见，矩阵乘积的结果是跟乘积的次序有关的。如果两个矩阵的乘积满足AB=BA，则称A，B是可交换矩阵（Commutable matrices）。

不难证明，数量矩阵与同阶的任何方阵是可交换的。

3.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵

例如

A≠0，B≠0，但是

对此，需要特别注意，若两个实数的乘积等于零，则式中必有零因子。但是这个所谓的“零因子定律”对矩阵乘法来说，已不再成立了。

4.矩阵的乘法不满足消去律

即若

AC=BC，且C≠0

一般推不出A=B。例如

虽然有 　　

但是A≠B。

以上四点说明了矩阵乘法与实数的乘法运算的不同之处，初学者应给予特别注意。但矩阵的乘法运算（Multiplication of matrices）仍然有下面这些运算规律：

性质2.3　（1）设A，B，C分别是m×n，n×p，p×q矩阵，则

（AB）C=A（BC）　　（乘法结合律）

（2）设A，B，C，D分别是m×n，m×n，n×p，s×m矩阵，则有

（A+B）C=AC+BC　　（右乘分配律）

D（A+B）=DA+DB　　（左乘分配律）

（3）设A，B分别是m×n，n×p矩阵，k是常数，则

k（AB）=（kA）B=A（kB）

（4）设A，B是两个n阶矩阵，则

｜AB｜=｜A｜｜B｜

证　仅证第（1）式，其余留给读者自己证明。

设A，B，C分别是m×n，n×p，p×q矩阵，则易见（AB）C，A（BC）都是m×q矩阵，而且∀i，j（i=1，2，…，m；j=1，2，…，q），A（BC）的第i行第j列的元素为

上式右端即为（AB）C的第i行第j列位置上的元素。故结论成立。

有趣的是，由矩阵乘法结合律，矩阵等式

（AB）C=A（BC）

总是成立的。但是因为矩阵A，B，C的阶数不同，等式两边所需要施行的实数的乘法次数就不同。如果涉及到n个矩阵相乘，怎样结合能够使得总的乘法次数最少，这是计算机学科中数据结构与算法分析等课程中的一个经典问题。

【例2.5】　设

求｜AB｜。

　　解　因为 　　

所以 　　

另一种算法

从而有｜AB｜=｜BA｜。

四、方阵的幂

如果A是n阶矩阵（即方阵），有限个矩阵A的乘积是有意义的，结果也是确定的。设m是正整数，记

叫做A的m次幂（Powers of a matrix）。另外还规定：A0=E，其中E是n阶单位矩阵。

矩阵的幂运算有下列性质。

性质2.4　设A是n阶方阵，k是常数，m，l是正整数。则

（1）Am·Al=Am+l；　　（2）（Am）l=Am.l；

（3）｜Am｜=｜A｜m；　　（4）｜kA｜=kn｜A｜。

由于矩阵乘法不满足交换律，所以一般来讲（AB）m≠AmBm，但若A，B是可交换的，那么关系式（AB）m=AmBm必然成立。证明留给读者。

【例2.6】　证明

证　对n用数学归纳法。

（1）当n=1时，等式显然成立；

（2）假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时，有

从而对任意的正整数n，等式成立。证毕。

现在再假设有实系数多项式f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，而A是n阶方阵。则称矩阵

f（A）=a0An+a1An-1+…+an-1A+anE

其中，E是n阶单位矩阵，为A的矩阵多项式。

五、矩阵的转置

定义2.6　称n×m矩阵

为矩阵A=（aij）m×n的转置矩阵（Transposed matrix），记为A'或AT。

例如

矩阵的转置有下列运算规律。

性质2.5　设A，B是矩阵，它们的行数与列数使相应的运算有意义，k是常数，则

（1）（A'）'=A；　　（2）（A+B）'=A'+B'

（3）（kA）'=kA'；　　（4）（AB）'=B'A'

（5）A为对称矩阵的充要条件是A'=A；A为反对称矩阵的充要条件是A'=-A。

证　仅证明第（4）式，其余请读者自己完成。

设A=（aij）m×s是m×s矩阵，B=（bij）sn是s×n矩阵，记AB=（cij）m×n，B'A'=（dij）n×m，则转置矩阵（AB）'的第i行第j列位置上的元素，即原矩阵AB的第j行第i列位置上的元素，它是

又 　　

显然对任意∀i，j（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），有cji=dij，从而（AB）'=B'A'。

【例2.7】　设，，验证（AB）'=B'A'。

　　证　　

所以显然有（AB）'=B'A'。