第二节　n阶行列式的性质

由行列式的定义可知，当行列式阶数n较大时，直接用定义计算行列式较为烦琐。下面介绍行列式的一些性质，以此简化行列式的计算。

设n阶行列式

把D中的行与列互换，所得到的行列式记为D'（或DT），即

称行列式D'为行列式D的转置行列式（Transposed determinant）。

性质1.1　行列式与它的转置行列式相等。

证　对行列式的阶数作数学归纳法。

（1）当n=2时，命题显然成立；

（2）现假设对阶行列式命题成立，下证对n阶行列式命题也成立。事实上，若将D和D’分别按第一行和第一列元素展开，有

　　 （1.11） 　　

　　 （1.12） 　　

式中，A1k，M1k是D的第一行元素的代数余子式和余子式；Bk1，Nk1是D'的第一列元素的代数余子式和余子式。

M1k，Nk1都是n-1阶行列式，而且显然可看出Nk1是M1k的转置行列式。由归纳法假设知Nk1=M1k，∀k=1，2，…，n成立，从而由式（1.11）、式（1.12）得D=D'，即命题对n阶行列式也成立。

综合上述，命题得证。

性质1.2　说明，行列式中行和列的地位是对称的。行列式关于行成立的性质对于列也同样成立。反之亦然。

性质1.3　互换行列式中两行（或互换两列），行列式变号。

证　设行列式

互换第i行与j行（1≤i，j≤n，i≠j），得

下面用数学归纳法证明=-D。

（1）当n=2时

显然=-D。

（2）假设对阶数小于n的行列式，结论皆成立，下证对n（≥3）阶的行列式命题结论也成立。

注意到行列式D与中除去第i行与第j行的位置互换外，其余各行均相同。取定一个k（k≠i，j），并将行列式D与都按第k行展开，由第一节定理1.1的结论，得到

　　 （1.13） 　　

　　 （1.14） 　　

式中，Akl，Mkl是D的第k行元素的代数余子式和余子式；Bkl，Nkl是的第k列元素的代数余子式和余子式。

Mkl，Nkl都是n-1阶行列式，而且Nkl与Mkl除去两行的元素互换外，其余各行都相同。由归纳法假设知Nkl=-Mkl，∀l=1，2，…，n成立，从而由式（1.13）、式（1.14）知=-D，即命题对n阶行列式也成立。

综合上述，命题得证。

推论1.1　如果行列式中有两行（列）元素对应相等，则此行列式为零。

性质1.4　行列式中的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，即

证　将等号左、右两边的行列式分别记为与D，并将行列式按第i行展开，得

推论1.2　行列式中某一行（列）中所有元素的公因数k，可以提取到行列式符号的前面来。

推论1.3　如果行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列式为零。

推论1.4　如果一个行列式的两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。

性质1.5　如果行列式中某行（列）的各元素都是两数之和，则这个行列式就可拆分为两个行列式之和。即

证　与性质1.4的证明类似，将等式左边的行列式按第i行展开即可。

性质1.6　把行列式的某一行（列）的元素的k（k ∈ R）倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。即

证　由性质1.5和推论1.4即可证得。

性质1.7　行列式D的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

或

证　作行列式（把原行列式中的第j行元素也换为与第i行相同的元素）

首先由性质1.3的推论可知，当i≠j时，=0；

再将它按第j行展开（注意到行列式与行列式D仅有第j行的元素不同，因而它们第j行的元素的代数余子式一定是相同的），则又有

两种算法，所得结果应该是一致的。从而有

命题得证。

本章第一节中定理1.1与性质1.7的结论可以合并为统一的一个式子

　　 （1.15） 　　

式中克罗内克（Kronecker delta）函数是

上述结论非常重要，它是证明许多其它命题的基础。对行列式的列来说也有同样的性质成立。而克罗内克函数δij在电子电路或数字信号处理等学科中，也经常用到。