第四节　克莱姆（Cramer）法则

本节讨论有n个未知量也有n个方程的线性方程组

　　 （1.16） 　　

称上式为n元线性方程组。这是我们前面讨论的二元、三元线性方程组的更一般情形。

若右端的常数b1，b2，…，bn不全为零，则称式（1.16）为非齐次线性方程组；而当b1，b2，…，bn全为零，则称式（1.16）为齐次线性方程组。记

称D为线性方程组的系数行列式，又记

Dj是用方程右端的常数项b1，b2，…，bn来替换系数行列式D中的第j列的元素而得到的行列式。

定理1.2　［克莱姆（Cramer）法则］如果线性方程组（1.16）的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解

　　 （1.17） 　　

证　先证式（1.17）是方程组（1.16）的解。为此只要验证式（1.17）满足方程组（1.16）中的每一个方程，即要证对任意i（1≤i≤n）有

或　　ai1D1+ai2D2+…+ainDn=bi·D　　（1.18）

现将每个Dj（j=1，2，…，n）按第j列展开为

注意到系数行列式D与行列式Dj仅第j列的元素不相同，所以在上述展式中，Dj的第j列元素的n个代数余子式A1j，A2j，…，Anj也就是系数行列式D的第j列对应元素的代数余子式。

现将这些展开式代入式（1.18）的左边，即有

把上面的和式按照常数项b1，b2，…，bn重新整理，得

式中最后一个等式应用了本章第二节中式（1.15）（关于行列式展开）的结论。

再证方程组解的唯一性。

设x1=λ1，x2=λ2，…，xn=λn为方程组（1.16）的任一解，我们证明必有

　　 （1.19） 　　

因为λ1，λ2，…，λn是式（1.16）的一个解，所以它满足式（1.16），即

ai1λ1+ai2λ2+…+ainλn=bi，i=1，2，…，n

从而由行列式的性质1.4和性质1.6知

再把从第2列开始的每一个第j列的λj倍（j=2，…，n）都加到第一列上去，有

同理可证j=2，…，n时，λj·D=Dj，即。所以方程组（1.16）的解是唯一的。证毕。

【例1.12】　求解线性方程组

解　方程组的系数行列式

由克莱姆法则知它有唯一解。又因为

所以方程组的解是

在上面的解题过程中，为了避免四阶行列式的复杂计算，也可以利用国际知名的数学与工程软件MATLAB来计算这些行列式的值（关于MATLAB及其基本使用方法可以参见第二章的第八节）。例如对行列式D1，在MATLAB的命令窗口输入：

≫D1=det（［1 1 2 3；-4 -1 -1 -2；-6 3 -1 -1；-4 2 3 -1］）％矩阵记号［…］可参见第二章回车，即可得到其值。

线性方程组（1.16）每个未知数的值都等于零的解称为零解。反之，至少有一个未知数不等于零的解称为非零解。

任何齐次线性方程组总是有解的，因为它至少有零解。那么齐次线性方程组在什么情况下才有非零解呢？

由克莱姆法则可知，方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组，当它的系数行列式D≠0时，方程组有唯一零解，所以齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D=0。以后还可以证明D=0也是齐次线性方程组有非零解的充分条件。

【例1.13】　讨论λ为何值时，线性方程组

有唯一解，并求出其解。

解　方程组的系数行列式

由此可知，当λ≠1且λ≠-2时，方程组有唯一解，又

此时方程组的（唯一）解是

两点注意：

（1）上面解题过程中要计算4个带有符号参数λ的3阶行列式的值，工作量也不小，对此同样可以利用MATLAB来计算这些行列式的值。例如对系数行列式D，在MATLAB的命令窗口输入

≫syms t　　　　　　　　　　　　　　　　％　将符号参数λ换为英文字母符号t

≫D=det（［t 1 1；1 t 1；1 1 t］）　　　％　矩阵记号［…］可参见第二章

≫D=factor（D）　　　　　　　　　　　　　％　因式分解

即得D=（t+2）*（t-1）^2。

（2）对于例1.13中的方程组，当λ=1时，方程组的系数行列式D=0，方程组与下列方程同解

x1+x2+x3=1

从而方程组有无穷多组解；而当λ=-2时，原方程组即为

这是个不相容方程组，即矛盾方程组（把第一、第二个方程加到第三个方程上去，得到的是一个矛盾方程），所以方程组此时无解。

值得指出的是，在实际生产决策过程中由于数据统计误差等原因，使得某种决策方案所对应的线性方程组为矛盾方程组，这是经常会发生的。因而矛盾方程组往往也是需要求解的，这就是所谓的“最小二乘解”。需要了解这方面知识的读者，可参见本书附录部分的案例二。在该案例中，还同时介绍了“多项式曲线拟合”问题。

克莱姆法则是线性方程组理论中的一个重要结果，它不仅给出了线性方程组（1.16）有唯一解的条件，方程组解的具体表达式，并且还揭示了方程组的解与系数和常数项之间的关系，这在方程组的更一般问题的研究中将起到很重要的作用。

当然，从前面的例子我们也看到，用克莱姆法则求解有n个未知量n个方程的线性方程组时，需要计算n+1个n阶行列式，这个计算量是很大的。所以在实际求解高阶线性方程组时，一般不用克莱姆法则。

此外，在实际问题中还会碰到系数行列式D=0，以及方程个数m与未知数个数n不相等的线性方程组。在第四章中，我们将对最一般形式的线性方程组作进一步的研究。