第五章 向量与空间解析几何

第一节 向量及其运算

［课前导读］

既有大小又有方向的物理量称为向量．在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向.

（1）向量的表示：以M1为起点、M2为终点的有向线段表示的向量记为，有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图5-1），如a或.

（2）向量的模：向量的大小（数学上指有向线段的长度）叫作向量的模，记作|a|，．模为1的向量称为单位向量（见图5-1），记作e．模为0的向量称为零向量，记作0．零向量的方向可以看作是任意的.

（3）向径：以原点O为始点，向一点M引向量，这个向量叫作点M对于点O的向径，记作r，即.

（4）自由向量：只与大小、方向有关，而与起点处无关的向量称为自由向量.

一、空间直角坐标系

过空间一个定点O，作三条互相垂直且具有相同的长度单位的数轴（见图5-2），这三条数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴，定点O称为原点．其正向符合右手规则（见图5-3）．这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.

三条坐标轴中的两条可确定一个平面，即xOy、yOz、zOx平面，统称坐标面．它们把空间分成了八个卦限，在xOy平面上面逆时针依次为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，下面依次为Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限，如图5-4所示.

对于空间一点M，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q和R（见图5-5），这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标为x、y和z，则这组有序数x、y和z称为点M的坐标，记为M（x，y，z）.

反之，已知一个有序数组（x，y，z），我们可以在x轴、y轴和z轴上分别取坐标为x的点P，坐标为y的点Q，坐标为z的点R，过三个点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的三个平面，它们相交于一点M，则M即为以x、y和z为坐标的点．所以通过直角坐标系，我们建立了空间点M与有序数组（x，y，z）的一一对应关系.

我们先来看几个特殊点的坐标（见图5-6）.

在xOy平面上：z=0，故对应点的坐标为A（x，y，0）；

在yOz平面上：x=0，故对应点的坐标为B（0，y，z）；

在zOx平面上：y=0，故对应点的坐标为C（x，0，z）.

在x轴上：y=z=0，点的坐标为P（x，0，0）；

在y轴上：z=x=0，点的坐标为Q（0，y，0）；

在z轴上：x=y=0，点的坐标为R（0，0，z）.

设M1（x1，y1，z1）、M2（x2，y2，z2）为空间两个点（见图5-7），通过M1、M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M1、M2为体对角线的长方体，由此可得，即.

例1　证明以点M1（4，3，1）、M2（7，1，2）及M3（5，2，3）为顶点的三角形是等腰三角形.

证

即，因此该三角形是等腰三角形.

例2　在z轴上求与两点A（－4，1，7）和B（3，5，－2）等距离的点.

解　设所求点的坐标为M（0，0，z），由，即

得，因此所求点的坐标为M（0，0，）.

二、向量的运算

1. 向量的投影及投影定理

将向量a、b的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度θ后可与另一个向量正向重合（见图5-8），则称θ为向量a、b的夹角，记作，即

已知两向量a、b，如果它们的夹角θ=0或θ=π，则称这两个向量平行，记为a//b，其中两个向量指向一致时θ=0，指向相反时θ=π．指向相同的两个平行向量a、b如果还满足|a|=|b|，那么这两个向量相等，记为a=b．与向量a的模相同，但方向相反的向量叫作a的负向量，记作-a.

对于一向量与一轴的夹角，可将其中一轴看作向量，按两向量之间的夹角来度量；对于两个轴之间的夹角，则看作两向量的夹角.

通过空间一点A作与u轴垂直的平面（见图5-9），该平面与u轴的交点A′称为点A在u轴上的投影.

如果向量的始点A与终点B在u轴上的投影分别为A′、B′（见图5-10），则u轴上的有向线段的值A′B′称为向量在u轴上的投影，记作，u轴称为投影轴.

注　值A′B′是指其绝对值等于的长度，即，符号由的方向决定：当与u轴同向时，取正号；当与u轴反向时，取负号.

定理1　向量在u轴上的投影等于向量的模乘以u轴与向量的夹角θ的余弦，即

证　将向量的始点置于u′轴（见图5-11），则由直角三角形关系得

当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投影为负；成直角时，向量的投影为零（见图5-12）.

定理2　两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和.

证　设点A、B和C在轴上的投影分别是A′、B′和C′（见图5-13），则Prju=A′B′，Prju=B′C′，Prju=A′C′，由于无论A′、B′和C′在轴上的位置如何，总有A′C′=A′B′+B′C′，故.

本定理可推广到有限个向量的情形：

Prjua1+Prjua2+…+Prjuan=Prju（a1+a2+…+an）.

定理3　.

证　证明留作习题.

2. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

以同起点向量a、b为平行四边形相邻两边，以a向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为a+b，如图5-14所示．以b向量的终点为起点，a向量的终点为终点的对角线向量为两个向量的差，如图5-15所示．记为a－b=a+（－b）.

设λ是一个实数，向量a与数λ的乘积λa规定如下.

当λ>0时，λa表示一向量，其大小|λa|=λ|a|，方向与a同向；

当λ=0时，λa=0是零向量；

当λ<0时，λa表示一向量，其大小|λa|=－λ|a|，方向与a反向（见图5-16）.

特别地，当λ=－1时，（－1）a=－a.

由数乘的定义很容易得到以下结论（见图5-17）.

（1）如果两个向量a、b满足b=λa（λ是实数），则a//b；

反之，若a//b且a≠0，则存在唯一的实数λ，使b=λa.

（2）记ea为非零向量a的同向单位向量，（证明留作习题）.

例3　设P1、P2为u轴上坐标分别为u1、u2的两点，又e为与u轴正向一致的单位向量（见图5-18），则有=（u2－u1）e.

证　当u2－u1>0时，与e同向，故=λe（λ>0），由λ==u2－u1，因此=（u2－u1）e；

当u2－u1=0时，=0，（u2－u1）e=0，因此=（u2－u1）e；

当u2－u1<0时，与e反向，故=－λe（λ>0），由λ==u1－u2，因此=－λe=－（u1－u2）e=（u2－u1）e.

设空间有一向量a=，其中M1（x1，y1，z1）、M2（x2，y2，z2），由加法定理可知a可分解为三个分别平行于x轴、y轴和z轴的向量ax、ay和az，它们称为a在x轴、y轴和z轴的三个分向量．显然a=ax+ay+az（见图5-19）.

而

Prjxa=Prjxax=x2－x1=ax，

Prjya=Prjyay=y2－y1=ay，

Prjza=Prjzaz=z2－z1=az，

若用i、j和k分别表示与x轴、y轴和z轴正向一致的三个单位向量，称它们为基本单位向量，则有ax=（x2－x1）i，ay=（y2－y1）j，az=（z2－z1）k，因此a=ax+ay+az=（x2－x1）i+（y2－y1）j+（z2－z1）k=axi+ayj+azk，称上式为向量a按基本单位向量的分解式或a的向量表示式.

一方面，从向量a可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影ax、ay和az，另一方面，从ax、ay和az可以唯一定出向量a，这样有序数组ax、ay、az就与向量a一一对应，于是将ax、ay、az称为向量a的坐标，记为a=（ax，ay，az），也称为向量a的坐标表示式.

以M1（x1，y1，z1）为始点、M2（x2，y2，z2）为终点的向量记为

=（x2－x1，y2－y1，z2－z1）.

特别地，向径r==（x，y，z）（见图5-20）.

对于向量的运算也可化为对坐标的数量运算.

设向量a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），则

λa=λ（axi+ayj+azk）=（λax）i+（λay）j+（λaz）k=（λax，λay，λaz）.

例4　设A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2）为空间两点，而在AB直线上的点M分有向线段为两个有向线段与，使它们的模的比等于某数λ（λ≠－1），即，求分点M的坐标x、y和z.

解　如图5-21所示，因为在一直线上，故.

而=（x－x1，y－y1，z－z1），=（x2－x，y2－y，z2－z），因此（x－x1，y－y1，z－z1）=λ（x2－x，y2－y，z2－z），即x－x1=λ（x2－x），y－y1=λ（y2－y），z－z1=λ（z2－z），可得

点M叫作有向线段的定比分点，当λ=1时，点M是有向线段的中点，其坐标为

例5　设m=3i+5j+8k，n=2i－4j－7k，p=5i+j－4k，求a=4m+3n－p在x轴上的坐标及在y轴上的分向量.

解　a=4m+3n－p=4（3i+5j+8k）+3（2i－4j－7k）－（5i+j－4k）=13i+7j+15k，所以a在x轴上的坐标为13，在y轴上的分向量为7j.

三、向量的模、方向角

设a为任意一个非零向量，又设α、β、γ为a与三坐标轴正向之间的夹角（0≤α，β，γ<π），如图5-22所示，则α、β、γ分别为向量a的方向角．由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有

ax=|a|cosα，ay=|a|cosβ，az=|a|cosγ，

其中，cosα、cosβ、cosγ称为向量a的方向余弦，通常用来表示向量的方向.

由模的定义，可知向量a的模为

由此可得

cos2α+cos2β+cos2γ=1，

即任一向量的方向余弦的平方和为1.

例6　设两已知点M1（2，2，）和M2（1，3，0），分别写出向量的坐标表达式和向量表达式，计算它们的模、方向余弦、方向角、同向单位向量.

解　向量，．模．

的方向余弦为

对应的方向角为

同理可得的方向余弦为

对应的方向角为

与同向的单位向量为，

与同向的单位向量为.

例7　求平行于向量a=6i+7j－6k的单位向量.

解　所求向量有两个，一个与a同向，一个与a反向.

由于，故

例8　已知向量的模为，向量与x轴和y轴的夹角分别为和，如果P1的坐标为（1，0，3），求P2的坐标.

解　设向量的方向角分别为α、β、γ.

因为，则，又因为cos2α+cos2β+cos2γ=1，所以，可得或.

设P2的坐标为（x，y，z）.

由可知，解方程可得x=2，

由可知，解方程可得y=，

由可知，解方程可得z=4或z=2，因此，P2的坐标为（2，，4）或（2，，2）.

四、数量积

首先我们来看一个引例.

设一个物体在恒力作用下，沿直线从点M1移动到点M2（见图5-23），以s表示位移．由物理学知道，力F所做的功为W=|F||s|cosθ（见图5-24），其中θ为F与s的夹角.

从这个问题可以看出，我们有时要对两个向量做这样的运算，运算的结果是一个数，它等于这两个向量的模及它们夹角的余弦的乘积．我们把这个数称为这两个向量的数量积（也称为内积或点积）（见图5-25）.

定义1　给定向量a与b，我们将|a|与|b|及它们的夹角θ的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积，记为a·b，即

a·b=|a||b|cosθ=|a||b|cos（）（0≤θ<π）.

由数量积的定义可知，恒力F沿直线从点M1移动到点M2，所做的功为

由定义1可以推出：

（1）a·b=|a|Prjab=|b|Prjba；

（2）a·a=|a||a|cos（）=|a|2；

（3）若|a|≠0，|b|≠0，则a·b=0a⊥b.

证　若已知a·b=0，即|a||b|cos（）=0，故cos（）=0，，因此a⊥b；

反之，若a⊥b，即，故cos（）=0，从而|a||b|cos（）=0，因此a·b=0.

数量积符合下列运算规律.

（1）交换律：a·b=b·a.

证　a·b=|a||b|cos（）=|b||a|cos（）=b·a.

（2）分配律：（a+b）·c=a·c+b·c.

证

（3）（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）（其中λ是实数）.

证　当λ=0时，三者均为零，显然成立；

当λ>0时，

当λ<0时，

类似地，可证得（λa）·（μb）=λμ（a·b）.

下面来看两向量的数量积的坐标表示式.

设

注意到i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=k·i=0，则有

a·b=axbx+ayby+azbz.

由此可得：若|a|≠0，|b|≠0，则

例9　利用向量证明不等式：

其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为非零常数，并指出等号成立的条件.

证　设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），则

从而

等号成立当且仅当a//b.

例10　已知a=（1，1，－4），b=（1，－2，2），求：

（1）a·b；（2）a与b的夹角θ；（3）a在b上的投影.

解　（1）由数量积的坐标表达式可知

a·b=1·1+1·（－2）+（－4）·2=－9.

（2）因为

所以.

（3）由a·b=|b|Prjba，可得

例11　已知a+3b⊥7a－5b，a－4b⊥7a－2b，试求（）.

解　根据题意，有

即

两式相减得，代入第一个方程得|a|=|b|，

因此

即.

例12　液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为v（常向量），设n为垂直于S的单位向量（见图5-26），计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的重量P（液体的密度为ρ）.

解　单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A，斜高为|v|的斜柱体，这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角θ．所以这柱体的高为|v|cosθ，体积为A|v|cosθ=Av·n（=A|v||n|cos（）），故单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的重量P=ρAv·n.

五、向量积

在研究物体转动问题时，不但要考虑物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩．如图5-27所示，设杆L，支点为O，受力F作用，由力学可知，力F对支点O的力矩是一个向量M，其大小为

其方向为：M垂直于与F所在平面，M的指向是按右手规则从转向F，转角不超过π，此时，大拇指的方向就是M的指向（见图5-28）.

定义2　若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件（见图5-29）：

（1）c的方向既垂直于a又垂直于b，c的指向按右手规则从a转向b来确定；

（2）c的模|c|=|a||b|sinθ（其中θ为a与b的夹角），则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为

c=a×b.

按此定义，上面的力矩M等于与F的向量积，即

根据向量积的定义，即可推得

（1）a×a=0；

（2）设a、b为两非零向量，则a//b的充分必要条件是a×b=0.

证　（1）|a×a|=|a||a|sin（）=0.

（2）已知a//b，即（）=0或，故

sin（）=0，

即|a×b|=|a||b|sin（）=0，a×b=0.

若已知a×b=0，即

|a||b|sin（）=0，

故sin（）=0，（）=0或（）=π，因此a//b.

由此可知，空间三点A、B、C共线的充分必要条件是.

向量积满足下列运算规律.

（1）a×b=－b×a；

（2）分配律（a+b）×c=a×c+b×c；

（3）结合律λ（a×b）=（λa）×b=a×（λb）（λ为实数）.

证明请读者自己完成.

下面我们来推导向量积的坐标表示式.

设a=（ax，ay，az）=axi+ayj+azk，b=（bx，by，bz）=bxi+byj+bzk，则

注意到i×i=j×j=k×k=0，i×j=k，j×k=i，k×i=j，并利用二、三阶行列式的计算公式（见本章的拓展阅读），则有

由此可得：若|a|≠0，|b|≠0，则

a×b=0a//baybz－azby=0，axbz－azbx=0，axby－aybx=0，

即（亦即a=λb，λ为实数）.

例13　求与a=3i－2j+4k，b=i+j－2k都垂直的单位向量.

解

因为，所以.

例14　在顶点为A（1，－1，2）、B（5，－6，2）和C（1，3，－1）的三角形中，求AC边上的高BD.

解　=（0，4，－3），=（4，－5，0），根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积为

又

所以，从而|BD|=5.

例15　设向量m，n，p两两垂直，符合右手规则，且

|m|=4，|n|=2，|p|=3，

计算（m×n）·p.

解　|m×n|=|m||n|sin（）=4×2×1=8，依题意知m×n与p同向，则

，（m×n）·p=|m×n|·|p|cosθ=8·3=24.

例16　设刚体以等角速度ω绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.

解　刚体绕l轴旋转时，我们可以用在l轴上的一个向量ω表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出，即右手握住l轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是ω的方向，如图5-30所示．设点M至旋转轴l的距离为a，再在l轴上任取一点O，作向量并以θ表示ω与r的夹角，则a=|r|sinθ．设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v的大小为

|v|=|ω|a=|ω||r|sinθ；

v的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即v垂直于ω与v；又v的指向是使ω、r、v符合右手规则，因此有

v=ω×r.

六、向量的混合积

定义3　设已知三向量a、b、c，先作向量积a×b，再作数量积（a×b）·c，记作［a b c］，称为三个向量a、b、c的混合积.

下面我们来看混合积的坐标表示式.

设a=（ax，ay，az）=axi+ayj+azk，b=（bx，by，bz）=bxi+byj+bzk，c=（cx，cy，cz）=cxi+cyj+czk，则

由此可得：

［a b c］=（a×b）·c=（b×c）·a=（c×a）·b=c·（a×b）=a·（b×c）=b·（c×a）.

混合积是一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.

若a、b、c成右手系时，［a b c］≥0；若a、b、c成左手系时，［a b c］≤0.

事实上，由于|a×b|=|a||b|sin（）表示边长为|a|、|b|的平行四边形面积（见图5-31），若a×b与c在a、b所在平面的一侧，即a×b与c之间的夹角θ为锐角，则（a×b）·c=|a×b||c|cosθ>0；若a×b与c在a、b所在平面的两侧，即a×b与c之间的夹角θ为钝角，则（a×b）·c=|a×b||c|cosθ<0．而|c|cosθ为平行六面体的高，因此

V=±|a×b||c|cosθ=±［a b c］（见图5-32）.

非零向量a、b、c共面的充分必要条件是［a b c］=0.

由此可知，空间四点A、B、C、D共面的充分必要条件是.

例17　已知（a×b）·c=2，计算［（a+b）×（b+c）］·（c+a）.

解

例18　已知空间内不在同一平面上的四点

A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3），D（x4，y4，z4），求四面体ABCD的体积.

解　由立体几何知，四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体的体积的六分之一，即

而

所以．式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.

例19　已知a=i，b=j－2k，c=2i－2j+k，求一单位向量γ，使γ⊥c，且γ与a、b同时共面.

解　设所求向量γ=（x，y，z）．依题意|γ|=1，即

x2+y2+z2=1，　（1）

由γ⊥c，可得

γ·c=0，即

2x+2y+z=0，　（2）

由γ与a、b共面，可得［a b γ］=0，即

将式（1）、式（2）与式（3）联立解得

所以.

习题5-1

1. 填空题.

（1）已知点A（2，－1，1），则点A与z轴的距离是_____，与y轴的距离是_____，与x轴的距离是__________.

（2）向量a=（－2，6，－3）的模为|a|=__________，方向余弦为cosα=_____，cosβ=_____，cosγ=_____，与a同方向的单位向量ea=______.

（3）设α、β、γ是向量a的三个方向角，则sin2α+sin2β+sin2γ=______.

（4）设向量a=（2，－1，4）与向量b=（1，k，2）平行，则k=______.

（5）已知三点M1（1，－2，3），M2（1，1，4），M3（2，0，2），则=______，=______.

（6）以点A（2，－1，－2）、B（0，2，1）、C（2，3，0）为顶点，作平行四边形ABCD，此平行四边形的面积等于______.

（7）向量a=（4，－3，1）在b=（2，1，2）上的投影Prjba=______，b在a上的投影Prjab=______.

（8）设a=（1，2，3），b=（－2，k，4），而a⊥b，则k=______.

2. 一向量与x轴和y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴的夹角的两倍，求向量的方向角.

3. 给定M（－2，0，1），N（2，3，0）两点，在Ox轴上有一点A，满足|AM|=|AN|，求点A的坐标.

4. 从点A（2，－1，7）沿向量a=（8，9，－12）方向取长为34的线段AB，求点B的坐标.

5. 设点P在y轴上，它到点P1（，0，3）的距离为到点P2（1，0，－1）的距离的两倍，求点P的坐标.

6. 设点A位于第Ⅰ卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为，且，求点A的坐标.

7. 证明：Prju（λa）=λPrjua.

8. 记ea为非零向量a的同向单位向量，证明：.

9. 求平行于向量a=6i+7j－6k的单位向量.

10. 设向量a与各坐标轴成相等的锐角，，求向量a的坐标表达式.

11. 已知a=（1，1，－4），b=（1，－2，2），求：

（1）a·b；（2）a与b的夹角θ；（3）a在b上的投影.

12. 已知两点M1（2，2，）和M2（1，3，0），计算向量的模、方向余弦和方向角.

13. 设|a|=3，|b|=2，，求：

（1）（3a+2b）·（2a－5b）；（2）|a－b|.

14. 已知点A（1，－3，4），B（－2，1，－1），C（－3，－1，1），求：

（1）∠BAC；（2）上的投影.

15. 已知a=（2，3，1），b=（1，－2，1），求a×b及b×a.

16. 已知向量a=（2，－3，1），b=（1，－1，3），c=（1，－2，0），求：

（1）（a+b）×（b+c）；（2）（a×b）·c；（3）（a×b）×c；（4）（a·b）c－（a·c）b.

17. 求与a=3i－2j+4k，b=i+j－2k都垂直的单位向量.

18. 已知空间四点A（－1，0，3），B（0，2，2），C（2，－2，－1），D（1，－1，1），求与都垂直的单位向量.

19. 设向量a=2i+j，b=－i+2k，求以a、b为邻边的平行四边形的面积.

20. 求以点A（1，2，3）、B（0，0，1）、C（3，1，0）为顶点的三角形的面积.

21. 设A=2a+b，B=ka+b，其中|a|=1，|b|=2，a⊥b，问：

（1）k为何值时，A⊥B？

（2）k为何值时，以A与B为邻边的平行四边形的面积为6？

22. 已知a=2m+3n，b=3m－n，m、n是两个互相垂直的单位向量，求：

（1）a·b；（2）|a×b|.

23. 设a、b、c满足a+b+c=0.

（1）证明：a·b+b·c+c·a=－（|a|2+|b|2+|c|2）；

（2）若还满足|a|=3，|b|=4，|c|=5，求|a×b+b×c+c×a|.

24. 设a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b之间的夹角θ.

25. 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

26. 利用向量积证明三角形正弦定理.

27. 已知向量a≠0，b≠0，证明：

|a×b|2=|a|2·|b|2－（a·b）2.

28. 已知a、b、c两两垂直，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求s=a+b+c的长度及它和a、b、c的夹角.

29. 已知a=（7，－4，－4），b=（－2，－1，2），向量c在向量a与b的角平分线上，且，求c的坐标.

30. 设向量x与j成60°，与k成120°，且，求x.