第三节 直线及其方程

［课前导读］

在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程——曲线方程的概念．同样，在空间解析几何中，任何曲线都可以看作满足一定几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹用方程组来表示，就得到曲线方程的概念.

空间直线是最简单的空间曲线．在本节中我们将以向量为工具讨论空间直线.

一、空间直线一般方程

任一空间直线L都可以看作是两个相交平面的交线（见图5-40）．若平面Π1的方程为A1x+B1y+C1z+D1=0，平面Π2的方程为A2x+B2y+C2z+D2=0，则方程组

表示空间直线L的方程，称为空间直线的一般方程.

例1　（1）求过点（－3，2，5），且分别与平面2x－y－5z=1和x－4z=3平行的平面Π1与Π2的方程.

（2）求平面Π1与Π2的交线方程.

解　（1）先求过点（－3，2，5）且与已知平面平行的平面.

平面Π1的法向量可取为n1=（2，－1，-5），故过点（－3，2，5）且以n1为法向量的平面方程为

Π1：2（x+3）－（y－2）－5（z－5）=0.

平面Π2的法向量可取为n2=（1，0，－4），故过点（－3，2，5）且以n2为法向量的平面方程为

Π2：（x+3）－4（z－5）=0.

即Π1：2x－y－5z+33=0，Π2：x－4z+23=0.

（2）所求直线的一般方程为

二、对称式方程及参数方程

由立体几何知道，过空间一点作平行于已知直线的直线是唯一的．因此，如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确定．现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的方向向量．直线上的任何一个向量都平行于方向向量．显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线平行于已知向量，故给定直线上的一点M0（x0，y0，z0）及一个方向向量s=（m，n，p），直线的位置就完全确定了（见图5-41）．如果M（x，y，z）为直线l上任意一点，则，即有

式（2）是含有未知数x、y、z的方程组．从上面推导可知，直线l上任意一点M（x，y，z）的坐标满足式（2）．反之，如果点M（x，y，z）不在直线上，那么向量与s就不平行，于是点M（x，y，z）的坐标就不会满足式（2）．由此可知此式即为直线l的方程，称为直线的对称式方程，也称点向式方程．这里s=（m，n，p）的三个坐标m、n、p就称为方向数，而s的方向余弦就叫作该直线的方向余弦.

若设，则有直线的参数方程

注　在式（2）中，若有个别分母为零，应理解为相应的分子也为零．例如，m=0（n≠0，p≠0），即式（2）为

时，上式应理解为

例2　用点向式方程或参数方程表示直线

解　令x0=1，代入方程得

解得y=0，z=－2，即得到该直线上的一点M0（1，0，－2），由于直线的方向向量s与相交平面的法向量n1=（1，1，1），n2=（2，－1，3）都垂直，故可取

因此直线的点向式方程为

直线的参数方程为

例3　求过点A（1，0，1）和B（－2，1，1）的直线方程.

解　向量=（－3，1，0）是所求直线的一个方向向量，因此所求直线方程为

三、直线与平面的关系

1. 两直线的夹角

两直线的方向向量之间的夹角（通常取小于等于90°的角）称为两直线的夹角，即或两者中小于等于90°的角.

设，其中s1=（m1，n1，p1），M1（x1，y1，z1）∈ l1，

，其中s2=（m2，n2，p2），M2（x2，y2，z2）∈ l2，

则

当l1⊥l2时（见图5-42），应有

m1m2+n1n2+p1p2=0.

当l1//l2时（见图5-43），应有

例4　求直线和直线的夹角.

解　已知直线l1的方向向量s1=（1，－4，1），直线l2的方向向量s2=（2，－2，－1），则

故.

例5　求过点（－3，2，5）且与两平面x－4z=3和2x－y－5z=1的交线平行的直线方程.

解　设所求直线的方向向量为s=（m，n，p），平面x-4z=3的法向量为n1=（1，0，-4），平面2x-y-5z=1的法向量为n2=（2，-1，-5），根据题意知s⊥n1，s⊥n2，取

故所求直线的方程为

例6　求过点M（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程.

解　先作一过点M且与已知直线垂直的平面Π，即

3（x－2）+2（y－1）－（z－3）=0.

再求已知直线与该平面的交点N.

令，则

代入平面方程得，交点，取所求直线的方向向量为，即

所求直线方程为

2. 直线与平面的夹角

直线l和它在平面π上的投影直线l1所构成的角称为该直线与平面的夹角（见图5-44），记为.

当直线与平面垂直时，规定.

设直线，s=（m，n，p），平面Π：Ax+By+Cz+D=0，n=（A，B，C），则，因此

当l//Π时，s⊥n，即有

Am+Bn+Cp=0.

当l⊥Π时，s//n，即有

例7　设直线，平面Π：x－y+2z=3，求直线L与平面Π的夹角φ.

解　平面Π的法向量n=（1，－1，2），直线L的法向量s=（2，－1，2），则

所以为所求夹角.

四、平面束

通过定直线的平面的全体称为过该直线的平面束，有时候用平面束解题非常方便，现在我们来介绍它的方程.

设直线其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例，λ1，λ，μ为任意常数，则过该直线的平面束方程为

λ1（A1x+B1y+C1z+D1）+μ（A2x+B2y+C2z+D2）=0，　（3）

或

A1x+B1y+C1z+D1+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0.　（4）

注意：若式（3）中λ1≠0，则可将式（3）写成式（4）；但式（4）中并不包括平面

A2x+B2y+C2z+D2=0.

例8　一平面过直线和点（1，1，－1），求该平面方程.

解　设过已知直线的平面束为

x+y－z+λ（x－y+z－1）=0，

又点（1，1，－1）满足方程，即由1+1－（－1）+λ（1－1－1－1）=0，得，因此所求平面方程为

x+y－z+（x－y+z－1）=0，即5x－y+z－3=0.

例9　过直线作平面Π，使它垂直于平面Π1：x+2y+z=0.

解　设过直线L的平面束的方程为（x+2y－z－6）+λ（x－2y+z）=0，即

（1+λ）x+2（1－λ）y+（λ－1）z－6=0.

现要在上述平面束中找出一个平面Π，使它垂直于题设平面Π1，故平面Π的法向量nλ垂直于平面Π1的法向量n1=（1，2，1）．于是nλ·n1=0，即

（1+λ）+4（1－λ）+（λ－1）=0，

解得λ=2，故所求平面方程为

Π：3x－2y+z－6=0.

容易验证，平面x－2y+z=0不是所求平面.

例10　在一切过直线的平面中找出平面Π，使原点到它的距离最长.

解　设通过直线l的平面束方程为（x+y+z+4）+λ（x+2y+z）=0，即

（1+λ）x+（1+2λ）y+（1+λ）z+4=0.

要使为最大，

即使（1+λ）2+（1+2λ）2+（1+λ）2=为最小，得，

故所求平面Π的方程为

x－y+z+12=0.

易知，原点到平面x+2y+z=0的距离为0，故平面x+2y+z=0非所求平面.

例11　一平面过直线，且与平面x－4y－8z+12=0成角，求该平面的方程.

解　设过已知直线的平面束为λ（x+5y+z）+μ（x－z+4）=0，即

（λ+μ）x+5λy+（λ－μ）z+4μ=0，

已知

即

或9λ2+12λμ=0，即λ（3λ+4μ）=0，得λ1=0，，因此所求平面为

x－z+4=0或x+20y+7z－12=0.

习题5-3

1. 求满足下列条件的直线方程.

（1）过点（2，－1，4）且与直线平行；

（2）过点（2，－3，5）且与平面9x－4y+2z－1=0垂直；

（3）过点（3，4，－4）和（3，－2，2）.

2. 求过点（1，1，1）且同时与平面2x－y－3z=0和x+2y－5z=1平行的直线方程.

3. 用点向式方程及参数方程表示直线

4. 求过点（1，0，－2）且与平面3x+4y－z+6=0平行，又与直线垂直的直线方程.

5. 确定下列各组中的直线和平面间的位置关系.

（1）和4x－2y－2z=3；

（2）和3x－2y+7z=8；

（3）和x+y+z=3.

6. 求直线和平面x－y－z+1=0的夹角.

7. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z－10=0的距离.

8. 求直线在平面4x－y+z=1的投影直线方程.

9. 求过点M（3，1，－2）及直线的平面方程.

10. 求过直线且与平面x+4y－3z+7=0垂直的平面方程.

11. 已知直线过点A（2，－3，4）且和y轴垂直相交，求该直线方程.

12. 求过点（0，2，4）且与直线平行的直线.

13. 求点P0（2，3，1）在直线上的投影.

14. 求点P0（3，－1，－1）在平面Π：x+2y+3z－40=0上的投影.

15. 求过点A（1，0，－2），且与平面Π：3x－y+2z+3=0平行，并与直线相交的直线l的方程.

16. 分别求过直线且垂直于各坐标面的平面方程，并求直线l在平面3x+2y+z－10=0上的投影.

17. 过点M1（7，3，5）引方向余弦等于的直线l1，设直线l过点M0（2，－3，－1），与直线l1相交且和x轴成角，求直线l的方程.

18. 求通过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程.

19. 求证：两直线在同一平面上的条件为

20. 一直线过点（1，2，1），又与直线相交，且垂直于直线，求该直线方程.

21. 一直线l过点A（－3，5，－9）且与两直线相交，求此直线方程.

*22. 设直线，其中s=（m，n，p），M0（x0，y0，z0），直线l外一点为M1（x1，y1，z1），证明：点M1到直线l的距离为.

*23. 设直线，其中s1=（m1，n1，p1），M1（x1，y1，z1），直线，其中s2=（m2，n2，p2），M2（x2，y2，z2），证明：异面直线l1与l2之间的距离为.

*24. 设直线，直线，试求：

（1）直线l1、l2之间的距离；

（2）直线l1与l2的公垂线方程.