考点1　常用解题技巧

一、代入法

小试牛刀　1.若一直角三角形的周长与面积的数值相等，且两直角边长之和是14，则该三角形的面积是（　）。

A.20　B.24　C.12　D.6.2

【解析】B 本题考查几何问题。最直接的方法即代入法。面积为24时，周长为24，则斜边长为24-14= 10，两直角边长为6、8，则此时三角形面积为6×8÷2=24，符合题意。故选B。

2.小刚家住的那条街的门牌号是从1开始挨着编下去的，除小刚家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000。问小刚家的门牌号是多少？（　）

A.11　B.22　C.33　D.141

【解析】A 根据题意，设最后一家门牌号为x，小刚家的为y，可列方程为：（1+x）×x÷2=10000+y，采用代入法，当y=11时，x=141，只有这样一个正整数解。故选A。

二、常识题解法

小试牛刀　1.甲、乙、丙共同编制一标书，前三天三人一起完成了全部工作量的，第四天丙没参加，甲、乙完成了全部工作量的，第五天甲、丙没参加，乙完成了全部工作量的，从第六天起三人一起工作直到结束，问这份标书的编制一共用了多少天？（　）

A.13　B.14　C.15　D.16

【解析】D 本题属于工程问题。首先根据三人的效率和为可推出，三人合作需要15天完成，而实际三人并没有天天在一起工作，根据常识可知实际时间应该大于15，满足条件的只有D。故选D。

2.有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时。有一次停电，将这两根蜡烛同时点燃，来电时，两只蜡烛的长度一样，那么，此次停电共停了多少分钟？（　）

A.10　B.20　C.40　D.60

【解析】C 首先，如果停电60分钟，细蜡烛已经点完，粗蜡烛还剩下一半，所以排除D；若停电30分钟，细蜡烛还剩下一半，因为粗蜡烛长度是细蜡烛的一半，所以此时粗蜡烛不可能和细蜡烛一样长，所以至少要停电30分钟以上，排除A、B。故选C。

三、整除法

小试牛刀　1.某单位组织职工参加团体操表演，表演的前半段队形为中间一组5人，其他人按8人一组在外圈，后半段队形变为中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。该单位职工人数150人，则最多可有多少人参加？（　）

A.149　B.148　C.138　D.133

【解析】D 整除特性法。根据题干条件可知：参加职工的人数减5可被8整除，减8可被5整除，代入选项，只有133符合。故选D。

2.若干学生住若干房间，如果每间住4人，则有20人没地方住，如果每间房住8人，则有一间房只有4人住，问共有多少学生？（　）

A.30　B.34　C.40　D.44

【解析】D 根据题干条件可知：住4人20人没地方住，可知人数是4的倍数，住8人余4人，可知人数不是8的倍数，即总人数除以8的余数为4，结合选项，只有D符合。故选D。

四、奇偶特性法

基础：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；

偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数。

推论：若两个数的和（或差）为偶数，则这两个数同为奇数或同为偶数；若两个数的和（或差）为奇数，则这两个数一个是奇数一个是偶数。

小试牛刀　1.某单位有员工540人，如果男员工增加30人就是女员工的2倍，那么原来男员工比女员工多几人？（　）

A.13　B.31　C.160　D.27

【解析】C 本题可以按常规方法列方程来解，但是比较浪费时间。用数字特征法能够直接秒杀答案。根据题目已知该单位员工共540人，即男、女员工人数和是偶数。根据“若两个数的和为偶数，则这两个数的差也是偶数”可知原来男员工比女员工多偶数个人，只有C选项是偶数。故选C。

2.某年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是l34人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少l人，问这四个班共有多少人？（　）

A.177　B.176　C.266　D.265

【解析】A 根据题干可知乙、丙两班的总人数减去甲、丁两班的总人数的差是奇数，再根据“若两个数的差为奇数，则这两个数的和也是奇数”可推得四个班的总人数也是奇数，排除答案B和C，又因为“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是l34人”可知三个班的人数都是一百多点，可推得四个班总人数应小于200人。故选A。

五、鸡兔同笼法

鸡兔同笼问题来源于我国古代数学著作中的一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这就是鸡兔同笼问题。

鸡兔同笼法的实质是：已知各个分量的平均值和总量的值，求总量中各个分量的值。

解题思路：方程法、假设法。

小试牛刀　1.今有鸡兔同笼，上有35个头，下有脚数为头数的2倍多24个，则鸡和兔的数量分别为（　）。

A.鸡23，兔12　B.鸡12，兔23　C.鸡21，兔14　D.鸡14，兔21

【解析】A 典型的鸡兔同笼问题。2个鸡脚对应1个鸡头，4个兔子脚对应1个兔头，每只兔子比每只鸡多2只脚，故兔子的数量为24÷2=12（只），则鸡有35-12=23（只），故选A。

2.某服装店进了衬衫和背心总共24件，总进价为400元。已知衬衫和背心每件的进价分别为90元和10元，问衬衫总进价比背心总进价（　）。

A.低40元　B.高40元　C.低120元　D.高120元

【解析】A 这是一道变形的鸡兔同笼问题。假设都进的背心，则需要花240元，比现在要少花160元；衬衫和背心差价为80元，所以衬衫进了160÷80=2（件）。由此衬衫总进价比背心总进价低10×22-90×2=40（元）。故选A。

六、十字交叉法

十字交叉法：一个整体有且只有两个不同的部分组成，其中整体的平均值记作C，两个部分的平均值分别记作A、B（且A﹥B），则均值为A的个体与均值为B的个体的个数比为上述概念可以抽象为：

小试牛刀　1.某单位共有职员72人，年底考核平均分数为85分。根据考核分数，90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？（　）

A.12　B.24　C.30　D.42

【解析】C 平均数问题。运用十字交叉法。优秀员工平均分为92、其他职工平均分为80、总的平均分为85，根据十字交叉法可知，优秀员工与其他职工的数量之比所以优秀员工占总人数的即30人。故选C。

2.某单位依据笔试成绩招录员工，应聘者中只有被录取，被录取的应聘者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的应聘者平均分比录取分数线低10分，所有应聘者的平均分是73分，问录取分数线是多少分？（　）

A.77　B.78　C.79　D.80

【解析】C 运用十字交叉法。设录取人员分数线为x，则录取人员平均分为x+6，未录取人员平均分为x-10。根据十字交叉法录取人数与未录取人数之比为，解得x=79。故选C。

七、选项结合法

小试牛刀　1.某公司计划采购一批电脑，正好赶上促销期，电脑打9折出售，同样的预算可以比平时多买10台电脑，问该公司的预算在平时能买多少台电脑？（　）

A.90　B.100　C.45　D.75

【解析】A 常规解法：设平时能买m台，每台的售价为x，则0.9x（m+10）=mx。解得m=90。选项结合法：题目条件“比平时多买10台电脑”说明促销期购买量与平时购买量之差为10，观察选项，发现A和B的数据之差恰好是10，则平时购买量很可能就是90，代入题目验证。设平时一台电脑100元，买90台，共计9000元，促销期打9折，就是90元，9000元可以买100台，恰好多买10台，符合题目条件。故选A。

2.有一个正方形花池，周围用边长25cm的方砖铺了一条宽1.5米的小路，共用1776块。花池的面积是多少平方米？（　）

A.111　B.289　C.400　D.10404

【解析】B（1）猜选项：由于花池周围用方砖铺了一条宽1.5米的小路，则小路和花池的总面积=小路的面积+花池的面积，同时花池和路合起来应该是一个正方形（其总面积为一个平方数），选项中400=111+289，400为一个平方数，说明111和289应该其中一个为路的面积，一个为花池的面积，则答案很可能在A和B之间。（2）结合题目条件确定选项：题目第一句中说“有一个正方形花池”，说明花池的面积为一个平方数，而289为一个平方数，所以289可能为花池的面积；（3）代入检验：若花池面积为289，则花池边长为17。花池和路的总面积为（17+1.5×2）2=400，则路的面积应为400-289=111，而路的面积=0.25×0.25×1776=111，符合题意。故选B。