爱因斯坦通往广义相对论的智力史

爱因斯坦与牛顿的苹果：牛顿的天才洞察力导致了这样一个结论，苹果下落和环绕地球的月球运动遵循相同的万有引力定律。

爱因斯坦1905年的著名论文动摇了经典物理学基础。这些论文挑战了光是波的想法，严格地给出了原子存在的证明，导致了对空间和时间的新见解，认证了质量是能量的一种形式。空间和时间的革命肇始于爱因斯坦1905年狭义相对论的表述，但是不久之后就发现这是不完备的。试图将牛顿所建立的引力理论纳入狭义相对论是不成功的，至少不会产生任何动力学基本原理。尽管这个问题并不会产生任何经验质疑，但迫使爱因斯坦1907年提出时间和空间的狭义问题，进而促成他进行广义相对论的继续革命。

为了得到广义相对论，爱因斯坦为之奋斗了8年，为此他遇到了种种物理与数学的诉求。下面的评述引导读者去了解爱因斯坦的想法和态度。尽管这里的讨论将会再次出现在手稿页的注释中，我们在此先叙述整个故事是如何展开的，所有的窘境、错误的路径、误解与曲解，都在告知我们爱因斯坦为了达到目标，他在崎岖不平的道路上，筚路蓝缕，以启广义相对论。

三城记：布拉格、苏黎世、柏林

研究爱因斯坦的专家施塔赫尔认为广义相对论发展可以成为一出“三幕剧”。依照这个剧本，第一幕发生于1907年，爱因斯坦称之为“等效原理”的基本想法形成了。第二幕发生于1912年，爱因斯坦认识到在数学上引力场可以用10个时空坐标函数来描述，这些函数组成非欧几里得时空几何的度规张量。第三幕是“美满的剧终”，发生于1915年11月，其时爱因斯坦建立了引力场方程并且解释了水星近日点反常进动。

对于这种戏剧性的发展，我们采用了另一种剧本，改弦易辙，以地域影响作为线索。当爱因斯坦还是伯尔尼专利局雇员时，他构想了等效原理这一概念，并且在1907年发表了关于狭义相对论的评论文章。在上述文章中，爱因斯坦还讨论了诸如引力场中光线弯曲和时钟速率直接蕴含的引力效应。这可以看成是1911年在布拉格开始的正剧的前奏。在中止了4年后，爱因斯坦重新对引力产生了兴趣，并且开始深入细致地、几乎是专一地，甚至有时是强迫性地追寻引力理论，直到最后的凯旋。

我们将这一时期称为“三城记”。每个城市都代表了发展的一个特殊章节。每个城市提供了不同的社会和政治环境，并且他的家庭生活也处在不同的阶段。这些情况是如何影响爱因斯坦的科学工作，已经在他自己的几篇文献中讨论了。

布拉格

1909年，苏黎世大学任命爱因斯坦为特聘教授，这是他首次拥有一个有声望的学术职位。不到半年之后，位于布拉格的查尔斯大学德意志部出现了一个理论物理正教授的空缺，爱因斯坦被提名候选这个更为受人尊重的职位。爱因斯坦的候选资格，得到了实验物理学教授兰姆帕（Anton Lampa）的强烈支持，以及马赫（Ernst Mach）热情洋溢的附议。马赫希望爱因斯坦能进一步发扬马赫观念。

尽管爱因斯坦的妻子米列娃（Mileva）认为他留在苏黎世更适宜，尽管学生们请求校方应该用各种努力请他留在苏黎世，在稍作耽搁后，爱因斯坦于1911年4月接受了提议，去了布拉格。

在布拉格，爱因斯坦写下了11篇学术论文，其中6篇是以相对论为专题的。这些论文中的第一篇发表于1911年，在文中他讨论了光线弯曲和引力红移，这是他在1907年发现的，但在这里是作为一个观测效应来考虑的。在布拉格论文中，他着重发展了基于等效原理的自洽的静态引力场。正如引力的牛顿理论那样，理论含有一个用单个标量函数表示的引力势，现在可由变光速给出。在那时候，广义相对论最终理论的概貌已被勾画出来。其中，对引力势的源的理解，不仅可以是具体物体的质量，也可以是引力场自身能量的等效质量。然而，直到这个时期的结尾，爱因斯坦仍然假定引力势由单一函数表示—依赖于空间的光速，并且他所发展的理论仍然限制在静态引力场。

有趣的是，爱因斯坦在布拉格的引力工作，在很大程度上是在与物理学家亚伯拉罕（Max Abraham）争论的背景下完成的。亚伯拉罕以对电动力学和电子论的贡献而著称。1912年5月，亚伯拉罕首次在四维闵可夫斯基时空框架下，建立了一个完整的引力场理论。爱因斯坦对这个理论先扬后抑。他在给朋友贝索（Michele Besso）的信中写道：“起初14天，我也为他的形式美和简单性所折腰。”然而，在随后的争论中，亚伯拉罕和爱因斯坦都发展出了重要的见解。

在小开本畅销书《狭义相对论和广义相对论》（普及本）捷克语1923年译本的前言中，爱因斯坦讲述了他在布拉格的工作：

我很高兴看到这本小册子……现在以贵国的语言出版了。我在1908年就已经设想了广义相对论的基本思想[他指的应该是1907年]，而正是在布拉格，我找到了发展这个基本思想的关键所在。在万尼克那大街的布拉格德意志大学理论物理所静谧的房间里，我发现了等效原理蕴含着太阳旁边经过的光线会发生可观测到的偏折……在布拉格，我还发现光谱线红移……然而，我是在1912年回到苏黎世以后，才意识到理论的数学形式和高斯曲面理论之间的相似性这个决定性的思想，那时我还不知道黎曼（Bernhard Riemann），里奇（Gregorio Ricci-Curbastro）和勒维-西维他（Tullio Levi-Civita）的工作。通过我的朋友格罗斯曼（Marcel Grossman），我才注意到这些工作。

苏黎世

1911年，格罗斯曼受聘为瑞士联邦理工学院（ETH）数学物理系的系主任。他一上任，就立即写信给爱因斯坦，询问他是否有兴趣回到苏黎世并加入ETH。稍早于此，爱因斯坦已经收到了来自乌德勒支的邀请，还得到了去莱顿的机会，这都是很诱人的，可以接近洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）这样的同行。爱因斯坦接受了ETH，而谢绝了乌德勒支和莱顿。不管爱因斯坦优先选择苏黎世的理由是什么，在那时这都是正确的决定。1912年8月爱因斯坦回到苏黎世，不久以后，他开始与格罗斯曼进行一个深入细致且成果丰硕的合作，这是广义相对论发展的一个里程碑。

在苏黎世期间，爱因斯坦创作了3篇文献，这些文献在寻找广义相对论中起到了重要作用。它们是苏黎世笔记、爱因斯坦—格罗斯曼纲领（Entwurf）和爱因斯坦—贝索手稿。我们将在爱因斯坦广义相对论的道路图有关章节中，讨论这些文献的内容和意义，现在只是作一些简要的描述。

苏黎世笔记是爱因斯坦对引力相对性理论研究的中间状态的笔记，那时他在格罗斯曼的帮助下探究张量计算与黎曼几何的概念与方法。笔记共有96页，并不都是专用于探究相对论。不过，爱因斯坦仍给笔记取了“相对论（Relativität）”这样一个题目。笔记写于1912年中期到1913年初。爱因斯坦从封面和封底分别开始写这本笔记，两个方向书写的内容在本子的四分之一处倒着汇合。该笔记在科学史上是一个非常重要的文献，对我们理解广义相对论的起源是至关重要的。

苏黎世笔记本质上已勾画了广义协变理论的蓝图，但是由于一个我们马上就要讲到的尚不成熟的物理理解，爱因斯坦放弃了它。作为替代，他和格罗斯曼发表了题为《相对论广义理论和引力理论纲领》一文，此后一直被称为纲领理论，因为题目中有Entwurf这个德语词，意思是提纲或纲领。虽然这个理论不满足爱因斯坦最初的广义协变性要求，他说服自己认为这是最佳做法了，任凭理论有这样或那样的缺点，直到1915年夏天，他仍然对纲领表示满意。

所谓的爱因斯坦—贝索手稿是一本计算集子，大约有50页，其中近半为爱因斯坦书写的，另一半为贝索所写。这本集子含有两个计算：其一，基于纲领理论场方程的水星近日点进动的计算；其二，在转动坐标系中的度规张量的计算。

瑞士内政部批准了ETH授予爱因斯坦正教授职位的请求，然而，职位仅延续3个学期。为此，爱因斯坦无法拒绝来自柏林的下一个邀请，这是他迫切需要的。

柏林

1913年，普朗克（Max Planck）当选为普鲁士皇家科学院的理事长。当选后不久，普朗克便发起一项选举爱因斯坦到科学院的活动。1913年7月，普朗克和能斯脱（Walther Nernst）一起来到苏黎世，向爱因斯坦提出了一个诱人的三重条件：推荐到科学院并给予丰厚的基金资助；担任威廉（Kaiser Wilhelm）物理研究所所长，且不用履行实际行政工作；担任柏林大学的教授而没有任何教学任务。

爱因斯坦接受了这个邀请，他还给不同的人以不同的理由来证明他的决定是值得的。在给洛伦兹的信中他写道：“我无法抵御这样一个职位的诱惑，它免去了我所有的职责义务，使我能让自己完全沉浸在深入思考之中。”但是，在他写给好朋友赞格尔（Heinrich Zangger）的信中，他却承认接受邀请的主要原因是为了能更接近他的表姐埃尔莎，在那段时间里，爱因斯坦狂热地追求她，她后来成为他的第二任妻子。爱因斯坦在信中写道：“尽管在柏林，我却要忍受孤独。不过在这里，有让我的生活更温暖的事，那就是，有一个女人让我很依恋。……你要知道，她是我来柏林的主要理由。”

1913年11月，皇帝威廉二世陛下确认了爱因斯坦当选为科学院物理—数学学部的正式成员。于是，年仅34岁的爱因斯坦成了有史以来最年轻的科学院成员。

爱因斯坦到达柏林不久，第一次世界大战爆发了。面对战争的现实，他最终离开了科学象牙塔，成为德国参战的政治对手。在柏林，爱因斯坦目睹了反犹太主义的现象，并且比以往任何时候都更意识到他的犹太身份。在柏林，他与米列娃的关系恶化到分手的程度—米列娃和孩子们回到了苏黎世。在遭受所有这一切的时候，爱因斯坦狂热地投入到他的科学工作中去，用他自己的话说，前所未有的努力。

爱因斯坦继续在他和格罗斯曼的引力纲领理论上努力，并且提出新的论断来支持它的有效性。他对纲领理论非常满意，在1914年10月已做好准备，写了一篇综述文章来总结这个理论，题为《相对论广义理论的形式基础》，发表在普鲁士皇家科学院的会议报告上。过了不到一年的时间，他就后悔了。

爱因斯坦对纲领理论的怀疑始于1915年夏天。他最终放弃了这个理论，创造力的大爆发加上艰苦工作，使他于当年11月完成了他的广义相对论。

柏林是当时物理学的世界中心，普朗克、能斯脱以及其他许多学者聚集在这里，爱因斯坦也加入了进来。甚至在战争年代的艰难困苦中，柏林在物理学界仍保持着令人鼓舞的学术氛围和日常工作。霍尔顿（Gerald Holton），一位在历史和哲学背景下进行爱因斯坦学术研究的先驱，提出了这个问题，“1915年到1917年后期，这些事实对爱因斯坦在柏林发展广义相对论的独特能力起到了多少作用？倘若他接受了来自另一个国家某个城市的重要职位，他还能创立广义相对论吗？”霍尔顿的回答很清楚：“除爱因斯坦之外，没有人能创造出广义相对论，也不会是在柏林之外的其他任何城市。”尽管并非没有从苏黎世的朋友们那里得到帮助！

向引力挑战

1905年的相对论已建立了对时间和空间的新理解，并且从此以后所有的物理相互作用必须纳入这个框架。此外，这个理论已将能量守恒定律和动量守恒定律结合成单一的定律，并将质量表示成能量的一种形式。狭义相对论的结果可以用闵可夫斯基（Herman Minkowski）发展起来的一种新的数学形式方便地描述，闵可夫斯基是爱因斯坦在苏黎世ETH时的老师。这个形式将时间和空间组成单一的客体—时空，并且对不同位置和时间发生的两个物理事件赋予一个几何距离。人们通常将时空中的点称为事件，因为它们是由发生的位置与时间刻画的。这个距离的平方就是两个事件之间时间间隔的平方减去空间间隔的平方。对于两位相互以常速度运动的观测者来说，可以利用他们各自的位置与时间的测量结果分别去计算这个值，他们将得到相同的结果。换句话说，闵可夫斯基四维时空装备了“度规”指令，用来测量事件之间的距离。这可以与三维空间两点之间的距离测量相比较，后者装备了熟知的度规指令：笛卡儿坐标间隔的平方和。

将电磁学领域纳入狭义相对论新的时空框架并不困难，实际上，狭义相对论是受到了麦克斯韦电动力学的启发。但是，用这个框架来表述两个质量之间的引力时出现了困难。由于引力的牛顿定律假设在距离上是瞬时作用，这一经典形式的定律与狭义相对论截然不相容。狭义相对论的推论之一是，没有任何物理效应能以超过真空中的光速传播。于是，人们目前需要一个新的引力理论，但是尚不清楚这种理论应该是怎样的，可以做出什么样的启发性假设，甚至连应该满足什么样的具体标准都不清楚。

但是，存在一种显而易见的方法，可以使经典的引力理论与狭义相对论的原理在形式上相容，爱因斯坦最初就遵循了这条思路。然而，这个推广出现的问题是，所得到的引力理论似乎违反了关于所有物体都以等加速度下落的伽利略原理。这是经典物理学的基本原理之一，由伽利略从比萨斜塔顶部扔下不同质量的物体，从而神话般地建立了起来。

伽利略原理规定，所有物体的自由落体加速度都是相同的。牛顿通过设定惯性质量等于引力质量来解释这一原理。惯性质量决定了给定力引起的物体的加速度，而引力质量决定了给定引力场施加在物体上的力。狭义相对论中惯性质量对能量的依赖性必定意味着，在相对论性引力理论中，物理系统的引力质量也应该以精确已知的方式依赖于能量，以便维持伽利略原理。爱因斯坦由此得出结论说，如果理论没有以自然的方式实现这一点，就应当将它舍弃。而同时代的科学家，如亚伯拉罕和米（Gustav Mie），为了获得狭义相对论意义上的相对论性引力理论，倾向于放弃伽利略原理。

爱因斯坦对相对论的推广始于马赫对经典力学的哲学批判。年轻的爱因斯坦十分钦佩马赫的工作。马赫声称，运动的概念，甚至惯性质量的概念，绝不能像牛顿所宣称的那样，应用于绝对空间中的单个物体。马赫建议所有的经典力学都应该根据物体的相对运动来重写，而且惯性质量和惯性系的概念也应该以这种方式重新定义。特别是引起旋转水桶中水位弯曲的离心力，不应当解释为牛顿在他著名的水桶实验中所主张的对于绝对空间的加速运动的影响，而应解释为宇宙中存在其他物体的影响。爱因斯坦指出，伽利略原理一定以某种方式与马赫独特的力学观点有关，马赫的力学观点拒绝了惯性参照系的特权地位，也拒绝了相对于绝对空间的加速度概念。在这种背景下，爱因斯坦意识到，如何维持伽利略原理的问题必须在推广相对论原理的框架内得到回答。简而言之，在经典力学与狭义相对论的冲突中，爱因斯坦于1907年决定保持引力质量与惯性质量的等效原理，转而情愿接受引力理论应超越狭义相对论范畴的观点。

考虑在狭义相对论的框架内发展新的万有引力理论这个显而易见的观念，他总结道：“结果是，在所描绘的项目框架内，这种简单的事态不能以令人满意的方式表示。这让我确信，在狭义相对论的结构中，没有令人满意的引力理论的合适位置。”

事后，我们认识到爱因斯坦是对的。时空结构有两种不同的类型：一种是与伽利略和牛顿的经典力学相联系，另一种则是与狭义相对论相联系，它决定了测量尺和钟的行为，从而决定了“时间几何”。正如施塔赫尔所强调的，任何体现惯性和引力质量等效的引力理论，都必须从支配自由粒子行为的惯性—引力场出发。甚至在牛顿力学水平上，引力也不能描述为作用在物体上的外力，而是对迄今为止固定的时空惯性结构的修正。因此，创建广义相对论的挑战就是建立这两种结构之间的相容性。

爱因斯坦的探索法：等效原理

如果新的引力理论要包含伽利略原理，它必须是相对论的推广理论，因为它必须给予加速运动与惯性运动相同的地位，将引力和惯性力同等考虑。实际上，爱因斯坦最终用广义相对论所达到的，与其说是对运动相对论的进一步推广，不如说是引力的“相对论”，引力与惯性结合起来构成一个统一的惯性—引力场。1905年的相对论授予匀速运动某种特权，就像对待匀速运动的列车那样。由此，在相互作匀速运动的参考系中，物理定律必须取相同的形式。伽利略原理表明，即使对相互作加速运动的参考系，物理定律也应取相同的形式，因为在这类参考系中，物体以同样的方式运动，即它们同时下落。但是，为了比较加速参考系和静止参考系并声称它们以某种方式等价，必须引入额外的假设。在加速参考系中空旷空间的某处，比如远离地球的宇宙飞船，物体落到地面上是由于加速度。在地球上的静止坐标系中，物体落到地面是由于地球引力。如果这两种情况下的行为相同，那么由于火箭加速运动而引起的表观力，也就是惯性力，必须与引力等效。这就是爱因斯坦著名的等效原理，它是构造广义相对论最重要的启发性线索之一。在追溯往事时，他称这个理念是他“一生中最得意的想法”。等效原理指出，引力场的存在只是相对的，因为对一个从屋顶自由下落的观测者，至少在他或她的近邻，暂时不存在引力场。特别地，在均匀引力场中的所有物理过程，都等效于在没有引力场的匀加速参考系中发生的那些物理过程。这个概念可以通过加速的宇宙飞船或者通过下落升降机的思想实验来说明。

将惯性力包含进构建引力新理论的尝试，有着深远的含义。惯性力是作用在加速参考系中的质量上的虚拟力，就像在旋转木马上体验到的离心力一样。爱因斯坦用不同类型的惯性力作为新理论的测试案例，例如，加速宇宙飞船中的惯性力。他还考虑了在旋转参照系中起作用的惯性力，例如形成旋转桶中液体表面的力，牛顿曾用它来证明绝对运动的观念。这些“虚拟”力实际上是真实力，不过在经典物理中，它们的起源却十分费解，因为它们被归因于绝对空间的神秘性质。倘若将这种惯性力与众所周知的牛顿力同等考虑，那么爱因斯坦就能得出定性的结论，也能导出他的新理论的数学结构的要求。

爱因斯坦的思想实验提供了一个重要的观念，这是一个关于光在引力场中的弯曲和时间本性的见解。由于实验室运动和光的运动的叠加，在一个加速实验室中的光线路径必定是弯曲的，爱因斯坦由此推断在引力场中的光线会发生偏折。这个结果与能量不仅具有惯性质量也有引力质量的假设，在逻辑上是一致的，因此，光应该受到引力的吸引。与狭义相对论相反，光在引力场中的偏折表明光速不应再假设为常数。这个定性结论得到了加速参考系中时间同步分析的支持，正如爱因斯坦在1907年的一篇文章中所描述的那样（见注释）。他的分析意味着在不同地点加速钟行走的速率不同。通过比较位于转动圆盘上不同位置的钟的速率，他得出了相同的结论。

几何进入物理学

旋转参考系的加入，提出了另一个观念性的挑战。爱因斯坦和玻恩（Max Born）在1909年就遇到了与狭义相对论有关联的这个挑战。爱伦弗斯特也独立地发现，根据狭义相对论，用来测量转动圆盘周长的杆应该经历所谓的“洛伦兹收缩”。因此，需要更多的杆来进行测量，并且圆盘周长会比静止盘的周长更长。然而，用来测量转动盘半径的杆垂直于运动的方向，所以杆没有变化。于是，转动盘周长对半径的比必定大于欧几里得几何中确定的值，即在盘静止的参考系中测得的周长与半径之比。这个困境被称作“爱伦弗斯特佯谬”，并由此引发了许多有争议的讨论。在这场辩论中，大多数参与者认为这个问题主要是一个刚体的定义问题。然而，爱因斯坦认为爱伦弗斯特佯谬是推广相对论的一个关键问题。在1912年发表的一篇文章中，他认为转动实验室中圆盘的周长与直径之比不再是π，这表明广义相对论隐含着对欧几里得几何的偏离。

在爱因斯坦的思考过程中，等效原理和加速实验室模型的利用，从属于新形成的启发式原理：广义相对性原理。根据这个原理，新的引力理论应该允许参照系处于任意运动状态，并且它应该将发生在其中的惯性力，描述为推广的动力学引力场的作用。这个原理以及加速升降机和旋转桶模型所暗示的概念变化，在考虑形成引力理论需用何种数学上起到了关键作用。爱因斯坦已经意识到有必要超越欧几里得几何。想要包括任意参照系的愿望，使他在1912年夏天有了一个想法，推广曲面的高斯理论来构造新的引力理论，但是他首先必须把高斯理论推广到相对论的四维世界。诸如黎曼、克利斯朵夫（Elwin Christoffel）和勒维—西维他那样的数学家已经为这个推广提供了重要的背景，但是爱因斯坦并不熟悉他们的工作，他不得不在他的朋友格罗斯曼的帮助下逐步学会了这门新数学。

经典物理学世界中熟悉的沿曲面运动的智力模型，也直接指向确定任意引力场中运动方程问题的解决方案。一个约束在无摩擦二维曲面上运动的物体，除了表面本身施加的力外，不受到其他力的作用，它总是沿着最短路径运动，这条路径称为测地线。这是直线的最简单推广。这个想法可以立即移接到从任意加速的参考系观察到的运动的情况，这对应于在没有任何其他力的引力场中的运动。在用来描述加速参考系的曲线坐标中，这种运动也可以表示为四维时空测地线。（然而，奇怪的是，描述自由运动物体的轨迹，也可以是时空中两个给定点之间最长的可能路径。这是时空度规特有的数学性质的结果。）

对引力作用的修正描述意味着，引力场不再被认为是牛顿物理学意义上的力，而是推广的时空连续统的几何性质的体现。作为距离概念的推广，而引入了度规的概念。平面是由在表面上处处相同的度规来刻画的，而曲面的几何性质必须由可变度规来描述。这样的度规将不同的实际距离，与在表面上不同位置给定的坐标距离相关联。结果表明，这个可变度规是引力势的合适表示。

—约翰·惠勒（John Archibald Wheeler）

爱因斯坦的探索法：行动计划

在寻找相对论性的引力理论时，爱因斯坦能够用同时代物理学家非常熟悉的一个模型来作为参照，因为它代表了19世纪物理学的伟大成就之一，这就是由麦克斯韦（James Clerk Maxwell）和赫兹（Heinrich Hertz）建立的所有电磁相互作用的统一理论。事实上，这个理论的一个显著特点是，它不是将电场和磁场分开描述，而是作为统一电磁场的组成部分。这个理论由荷兰物理学家洛伦兹发展成最终的形式，洛伦兹后来成为爱因斯坦的指导顾问之一。这个理论的核心概念是“场”。与描述由于作用在一定距离上的力引起的粒子相互作用不同，场论不限于相互作用的粒子，而是延展到它们的整个环境。场论以荷和流作为场的“源”，描述了它们如何产生了充满空间的场，并且还描述了场如何反过来决定带电粒子的运动。因此，根据这个“洛伦兹模型”诠释的物理过程，其数学表示必然包括两个部分：

·运动方程，描述在给定电磁场中荷电粒子的运动；

·场方程，描述作为源的荷和流所产生的电磁场。

幸运的是，在爱因斯坦狭义相对论的四维时空框架中，可以给出电磁场理论的最完美表述，从而成为推广狭义相对论的跳板。系统的重新阐述给人的启迪是，根据与物理系统状态有关的电场或磁场，电磁场可以以不同的方式显现出来。这个引人注目的性质，实际上是爱因斯坦关于狭义相对论的出发点之一。在建立引力场的相对论性理论时，爱因斯坦几乎在每个方面都受到洛伦兹模型的指引，包括引力场和惯性场的互补作用。这些作用就类似于电磁场的电和磁方面的相互作用。因此，新理论将包括两个部分：

·运动方程，描述在给定引力场中粒子的运动；

·场方程，描述作为源的物质和能量所产生的引力场。

爱因斯坦在1912夏天得到了第一个方程。构建第二个方程是一个更大的挑战。场方程的右边表示场或势的源，左边通过特定的数学过程—所谓的微分算子—描述源如何产生场或势。

爱因斯坦将洛伦兹模型作为前进的指导方针，但他很快发现，寻找场方程的任务，是他在构建引力的相对论性理论的斗争中，必须面对的最困难的挑战。他面临的首要问题是找到合适的数学对象来表示引力势。其次，取代经典物理学相应方程的引力场方程，必须与经典引力和狭义相对论的结果相容。

爱因斯坦必须牢记，在日常环境下，即在弱静态场（牛顿极限）的情况下，引力场的性质是众所周知的，可以由牛顿引力定律给出令人满意的描述。因此，在这样的环境下，相对论性引力场方程必须给出与牛顿定律相同的结果。这种约束可以称为爱因斯坦的“对应原理”。显然，新的场方程还应该与物理相互作用中的能量和动量守恒定律相一致。这个要求可以称为“守恒原理”。此外，在较早期研究中，爱因斯坦在等效原理指导下得到的许多发现，也应当在新理论中重现。

因此，爱因斯坦的行动计划是构建一个满足以下原理的理论：

·对应原理；

·守恒原理；

·等效原理。

此外，理论必须是广义协变的。

两种策略：数学还是物理

实际上，在爱因斯坦开始实施他的行动计划之前，他必须解决另一个问题，即在他将要构建的相对论性理论中，如何建立引力势的数学表示？决定性的提示来自于他对运动方程的探索和在这个理论中对旋转运动奇特性质的考虑。1912年，爱因斯坦意识到，引力势不像牛顿理论那样由单个函数给出，令人惊讶的是，它由空间和时间的一系列函数给出，这些函数一起构成了一个称为度规张量的复杂数学客体。爱因斯坦还认识到这个度规张量与非欧几里得几何有关，因此他的新引力理论将成为时空曲率理论。这一认识构成了施塔赫尔所说的广义相对论发展中的“第二幕”。

鉴于表示引力势的数学客体的复杂性，寻找相对论场方程将是一个非常具有挑战性的研究过程，在此过程中，一些主导了爱因斯坦启发式探索法的基本知识结构不得不做出修改。他在1912—1915年间在这方面的努力可以描述为两个互补的启发式策略之间的相互影响，即“物理策略”和“数学策略”的交相映衬。

就物理策略而论，爱因斯坦从某个场方程着手，一开始就给出经典牛顿极限下正确的引力定律，从而满足其对应原理。然后他修改场方程，以使其余的基本物理定律行之有效，包括能量和动量守恒原理。最后一步便是找到这个候选场方程能在何种程度上满足广义相对性原理。

为了寻求互补的数学策略，爱因斯坦从一个数学上合理的场方程出发，该方程将直接满足相对论最一般的原理。他的数学家朋友格罗斯曼提醒他注意到一些数学知识，特别是由里奇和勒维—西维他在1901年发表的一篇论文中提出的“绝对微分学”，在这篇论文中，他们将里奇、克利斯朵夫和其他一些数学家以前的工作，发展成一个完整的计算方案。物理学家在很长一段时间里都不知晓这种绝对微分学，在1912年，爱因斯坦极有可能对此所知甚少。但在他从布拉格搬迁到苏黎世后，与格罗斯曼的接触让爱因斯坦获得了这些数学方法。

建立了数学上合理的场方程，还要检查它是否满足其他物理要求。这种方法有一个严重的劣势，即最初并不清楚这样一个抽象的数学客体与熟悉的物理知识之间的关系。因此，必须对最初的数学候选者进行系统的改造，以使其能给出自洽的物理解释，这成为策略的必要部分。特别地，对于弱静态引力场的特殊情况，候选场方程必须满足可以回归牛顿理论的要求，并保证能量和动量的守恒。此外，即使经过修改以满足上述要求，它还必须满足如下的条件，即它仍然要容许足够宽泛的坐标变换，至少能变换到代表匀加速和匀速转动这类特殊情况的加速参考系。

广义相对论的牛顿极限问题是复杂的，因为实际上有两种方法：一种是通过狭义相对论这个中间阶段，另一种是通过牛顿物理学中引力场的推广，允许处理慢运动和拟静态解。然而，后者要求重新阐述牛顿理论，也包括等效原理，重新阐述的依据是很久之后法国数学家嘉当（Elie Cartan）为应对勒维—西维他和外尔的工作而提出的数学概念。在这种复杂的数学方法得到发展之前，爱因斯坦被迫引入了关于牛顿极限的假设，这些假设后来证明是有问题的。

竭力而作：纲领理论的建立

在苏黎世笔记中，爱因斯坦与格罗斯曼的合作有着最好的反映，这最终导致了所谓的纲领理论的发表。该笔记中记载的爱因斯坦研究的核心问题是找到引力场的场方程，即找到一种关系，确定这个场是如何由它的源，即由能量和物质产生的。笔记包含一个重要的着手点，这与格罗斯曼的帮助有关，他建议爱因斯坦运用一个关键的数学概念，即所谓的黎曼张量。从现代理论的观点来看，这是给爱因斯坦指明了一条通往广义相对论的康庄大道。然而，爱因斯坦和格罗斯曼不久之后就放弃了这条通道。

放弃这条通道的理由有两条：他们认识到为了达到正确的牛顿极限，他们不得不对可容许坐标的选择施加一定的条件。格罗斯曼和爱因斯坦还发现，要求他们的理论满足能量和动量守恒，会带来进一步的限制性坐标条件。最终，他们得到的结论是，基于黎曼张量的理论不能与这些物理要求相协调。直到1915年，爱因斯坦更深入地洞悉了在他的引力新理论情形下，如何阐明这些要求之后，上述结论才能得到修正。

找到正确的引力场方程，不仅是确定正确的数学表达式的问题，而且是数学形式和物理意义相结合的问题。仅仅掌握数学，就好比写了语法正确的句子，却不知道其中单词的含义。苏黎世笔记揭示了爱因斯坦正在为一门新的数学语言而奋斗，他试图将一些熟悉的物理知识转化成用这门新数学来表达，同时试图发现其中蕴含的新的物理见解。

爱因斯坦从牛顿引力理论导出物理要求，又从适合描述弯曲时空的数学形式提出其他条件，他在两者之间交替更迭，毫无疑问希望这两种策略最终汇聚。然而，在笔记中，他没有完全实现两种策略中的任何一个愿望。

自相矛盾的是，爱因斯坦用数学策略进行试验的主要结果，或多或少是物理策略的成功实施。显然，推广相对性原理所获得的新见解将带有更多的思辨性，相比之下，牛顿经典引力理论的要求具有更安全的优势。因此，在爱因斯坦看来，将理论建立在这个安全性优势上似乎更合理，纵然这意味着放弃他关于推广相对性原理的一些崇高抱负。

经过多次失败的尝试，爱因斯坦终于在苏黎世笔记的末尾导出了一个场方程，这个方程被称作纲领理论的核心。它主要满足源于经典物理学的原理，即对应原理和守恒原理。爱因斯坦意识到，纲领方程形式相同的那类坐标系，并不像他想象的那样满足广义相对性原理。为此，他怀着沉重的心情舍弃了对广义协变性的认知。然而，他可以向自己保证，这个方程是可接受的，因为对可容许坐标系的必要限制显然可以通过实施守恒原理的要求来证明。因此，在纲领理论中，广义相对性原理只在有限程度上得到满足，这似乎是有说服力的。从现代观点来看，这个理论是不正确的，但在那个时候，爱因斯坦认为它是可以达到的最好的理论了。这一过程的高潮是1913年爱因斯坦和格罗斯曼一起发表了题为《相对论广义理论和引力理论纲领》的论文。该文由两部分组成：物理部分由爱因斯坦执笔，数学部分由格罗斯曼执笔。

最初，爱因斯坦对发表的理论并不完全满意。在致洛伦兹的信中，他称缺少广义协变性是纲领理论的一个“丑陋的黑点”。但当爱因斯坦寻找理由来为这种不足辩护时，他得出结论，限制协变性是必要的。起初他认为他可以利用能量动量守恒，来证明他的新理论缺乏广义协变性。1913年12月，爱因斯坦写信给马赫：“恕我直言，参考系为了适应具有能量原理的现存世界，失去了其朦胧的先验存在。”

然而，爱因斯坦最终意识到这一论断并不正确。但与此同时，在1913年夏天，他发现了另一个更为深刻的论据—著名的“洞论据”—声称广义协变理论必然破坏因果性。在论据的最初形式中，爱因斯坦考虑了一个这样的时空，时空中有一个封闭的区域，即洞，洞外的时空充满物质。采用时空点可以通过坐标来识别这个看似合理的假设，它可以表明，洞外的特定物质分布并不唯一地决定洞内的引力场。爱因斯坦认为这个结果足以拒绝所有的广义协变理论。直到1915年末，爱因斯坦才意识到这个看似合理的假设在他的新引力理论中是站不住脚的，因为坐标没有物理意义。洞论据及其辩驳最终成为形成背景无关理论这个重要概念的出发点，也就是说，时间和空间不是物理戏剧的固定舞台。

然而，在1913年，正是错误的洞论据促使爱因斯坦进一步巩固了纲领理论，它的“丑陋的黑点”似乎已被抹去。他总结道：“事实上，引力方程不是广义协变的，这在一段时间前还困扰着我，业已证明这是不可避免的；如果要求场在数学上完全由物质决定，那么很容易证明具有广义协变方程的理论是不能存在的。”

今天，纲领理论已被遗忘。但是，从1913年到1915年末，爱因斯坦确信纲领理论构成了相对论性引力理论问题的解决方案。他在1914年写信给他的朋友贝索：“现在我完全满意了，不再怀疑整个体系的正确性，不管日食观测是否成功。这件事情的感觉再清楚不过了。”

变分法登上舞台

然而，一个令人烦恼的疑问仍然存在：纲领场方程与绝对微分学的数学传统之间究竟有什么关系呢？自从他与格罗斯曼合作以来，爱因斯坦对这个传统非常熟悉了，并且他知道黎曼张量和里奇张量将是建立他的理论的正确的数学对象。他确信他的纲领理论和这种数学语言之间必定存在着某种关系，但不清楚这种关系是什么。为了弄清楚这个问题，他再次求助于格罗斯曼。1914年初，苏黎世数学家伯纳斯（Paul Bernays）建议爱因斯坦和格罗斯曼从变分形式推导纲领场方程，这个变分形式是追踪称为拉格朗日量的单个函数的演化。在这种形式中，能量动量守恒是一个自然而然的副产品。爱因斯坦和格罗斯曼成功地找到了一个拉格朗日函数，从这个拉格朗日函数可以导出纲领场方程，并且他们观察到，在仅由能量动量守恒的要求来规定的坐标变换下，这个函数是不变的。爱因斯坦和格罗斯曼最后发表了一篇文章，展示了如何从这种变分形式得到纲领方程和能量动量守恒。从某种意义上说，这相当于数学策略对纲领理论的适配。爱因斯坦错误地相信，他用来推导场方程的变分方法唯一地导致了纲领理论。

爱因斯坦-贝索手稿：爱因斯坦未能看到不祥之兆

任何引力新理论的重要试金石，不仅在于它能够再现开普勒和牛顿建立的行星运动定律，而且能够解释这些定律的微小偏差。特别是对水星轨道近日点的进动，这些偏差变得很明显。这个进动在于水星椭圆轨道的轻微转动。这个转动的大部分可以用牛顿理论计及其他行星的影响来解释。但是那时的天文学家已经知道50年了，这个进动的观测值与牛顿理论之间的不一致之处为每百年43''（弧秒）。

早在1907年，在给哈比切特（Conrad Habicht）的信中，爱因斯坦就把解释这种差异确定为引力新理论的目标之一。6年后，他可以利用这种差异来检验纲领理论。1913年，爱因斯坦和他的朋友贝索一起发现了一种巧妙的方法，用来近似求解纲领场方程，从而确定水星轨道的偏移。这种方法在爱因斯坦—贝索手稿中得到描述，手稿大约有50页，其中散布着计算过程。这个过程产生了令人失望的结果，每百年18''（弧秒）。然而，至少在当时，它并没有引起爱因斯坦对纲领理论有效性的任何怀疑。倘若爱因斯坦能认真看待这一结果，他早就可以摒弃这一理论，并且提前两年踏上正确的征程。

爱因斯坦—贝索手稿还包含另一个重要的计算，可以导出类似的结果。它导出了转动参考系中的度规张量，并表明这是由旋转质量盘（远距离恒星）产生的引力场方程的解。爱因斯坦对这个结果非常满意，因为它似乎证实了马赫对牛顿旋转水桶实验的解释，并验证了相对论性引力理论中“静止旋转”的概念。事实上，爱因斯坦在这个计算中犯了一个错误，他在大约两年后的1915年9月才意识到。

放弃纲领理论

在通往正确理论的征程中，另一个中心问题是满足对应原理的问题，这一问题在阐述纲领理论的过程中已经得到了解决。正如早先指出的，在探讨数学动机候选者的极限情况和经典牛顿理论之间的关系时，产生了这个问题。爱因斯坦试图评估纲领理论的天文学推论，并检验它是否可以解释水星的近日点运动，此时，满足对应原理问题的解决方案从中浮现了出来。

1915年秋天，爱因斯坦决定放弃纲领理论，重新审视他先前探索过的引力的协变理论。事后回想，爱因斯坦对这个变动，给出了3条理由：

·纲领理论不能解释水星近日点的转动。

·纲领理论没有证实爱因斯坦的马赫探索法（把旋转的参考系看成等同于静止系）。

·变分法唯一地导出纲领场方程的结论是错误的。

值得注意的是，面对所有这些问题，爱因斯坦最初认为纲领理论能够存活下来。即使最后一个问题也没有对理论加以驳难，而只是成功地尝试通过物理论证，在技术层面上修复这个推导。洞论据的缺陷并未在这里列出，因为爱因斯坦是在完成广义相对论之后才认识到这个论据的谬误。

然而，从数学原理导出纲领理论的失败，对于爱因斯坦反思他得到的结果产生了深远的影响。这一失败表明，通过变分形式使数学策略适应纲领理论，显然没有如其所愿，将这一理论挑选为唯一可能的理论。相反，它开辟了考察其他候选场方程的可能性，并将本来为纲领理论发展的各种检验方案应用于这些理论。这种新的可能性，与先前发现的纲领理论的弱点结合起来，使爱因斯坦在度过一段沉思期后，放弃了改善纲领理论的尝试，转而回到新的探索阶段。

仔细分析后发现，爱因斯坦在苏黎世笔记中探求数学策略时，所出现的几乎所有技术问题，都可以在接下来的两年内解决。这是他专注于纲领理论有关主题的直接结果。因此，尽管这一理论不得不放弃，但它确实在广义相对论的演变中发挥了重要作用。

爱因斯坦关于纲领理论的结果，没有使这个理论得到固化，反而成为一种手段，帮助他踢开了绊脚石，不再妨碍他接受基于黎曼张量的引力场方程。

最后的努力：1915年11月

1915年秋天，爱因斯坦开始了新的努力，最终在11月向普鲁士皇家科学院提交了四篇文章。在第一篇论文中，他回到了3年前离开的数学道路，确信现在已经找到了确定的解。仅仅7天之后，他发表了一份补遗，对同一理论做出一个新的发人深思的解释，他声称：所有物质皆源于电磁，这尽管是一个误导，仍引起不小的争端。一个星期之后，他提出了一个强有力的经验论据来支持这一新理论，表明新理论与水星近日点进动的观测相符。又一个星期之后，他最后再次修正了他的理论，踢开了走向广义协变理论的最后一块绊脚石，诚如科学史学家詹森（Michel Janssen）所说，解开了爱因斯坦自己用纲领理论造成的心结。1915年12月，当爱因斯坦把他的学术论文寄给索末菲（Arnold Sommerfeld）时，他敦促索末菲仔细阅读这些论文，尽管“当你阅读时，最后一部分的场方程战役就展现在你的眼前”。

11月4日

这些论文中的第一篇《关于广义相对论》，投稿于11月4日，爱因斯坦解释了他改变了观点，重新研究协变场方程。文中写道：“近些年来，我致力于在相对论假设下，直接建立相对论的广义理论和研究非匀速运动。我确信我已经找到了唯一遵从广义相对论合理假设的引力定律……我对我推导的场方程失去了信任……”然后他不无遗憾地回忆道：“我达到了广义协变性的要求，3年前当我和朋友格罗斯曼一起工作时，我们曾经怀着沉重的心情，抛弃了这个要求。”

结果表明，只要稍微调整一下引力场本身的表达式，为纲领理论而发展的数学工具实际上就足以得到11月4日的理论，即所谓的“十一月理论”。新的引力场表达式由克利斯朵夫记号表达，它是度规张量分量导数的组合。它比纲领理论中表示引力场的相应表达式的结构更为复杂。在这篇论文中，爱因斯坦把引力场的先前版本称作“致命的偏见”，而几周后，他在给索末菲的信中，把用克利斯朵夫记号确定引力场描述为“解决问题的关键”。

克利斯朵夫记号是绝对微分学中一个常见的量，在讨论绝对微分学的主要对象：黎曼张量和里奇张量时，它自然而然地出现了。如果将克利斯朵夫记号解释为引力场的适当数学表达式，那么就打开了一个全新的视角。本质上，爱因斯坦只需要将引力场的新表达式插入到纲领理论的数学形式中，就能得到新的场方程。这个方程与他在苏黎世笔记中已经分析过的一个候选者惊人地相似。

十一月理论没有完全实现广义相对性原理，因为在可容许坐标系上仍然有些许限制，这是由守恒原理所隐含的。于是，就像在纲领理论的情况下一样，守恒原理需要一个坐标约束。然而，爱因斯坦对发表这一理论的胜利感是完全有正当理由的。通过改写用来导出纲领理论的物理论证，他成功得到了能从数学策略导出的场方程，也就是从黎曼张量出发从而保证了广泛的协变性。于是，物理和数学这两种策略已经基本融合；拼图的各个部分以一种令人惊讶的新方式组合在一起。回过头来看，一切都取决于对克利斯朵夫记号所表达的引力场的重新解释。

几个尚未回答的问题仍然存在。特别是，从守恒原理得到的坐标约束的物理意义尚不清楚。尽管这种限制可能很小，但仍然需要给出合理的物理解释。因此，新理论的数学形式与物理意义之间的紧张状态并未完全消散。

11月11日

为了消除这种紧张状态，11月11日爱因斯坦为正在印刷的11月4日论文增加了一个补遗。在该文的引言中，他写道：“现在我想在这里表明，通过引入一个显然十分大胆的关于物质结构的额外假设，理论可以达到更加简洁和更符合逻辑的结构。”于是，爱因斯坦对十一月理论的形式提出了一个新的解释，这促使他复活了苏黎世笔记时代的另一个候选者：里奇张量。如果假设作为引力源出现的唯一场是电磁场，最终所有物质都可以归结为电磁场，那么就能建立基于里奇张量的场方程，而不需要施加任何进一步的坐标约束。引入这个大胆假设后，守恒原理不再包含对可容许坐标系有任何约束之意，转而成为对引力场可容许源的约定。换句话说，通过暂时考虑一个关于物质本性的思辨猜测，爱因斯坦向他的广义协变的引力理论最终目标又迈进了一步。

11月18日

11月18日，爱因斯坦向普鲁士皇家科学院提交了另一篇论文—《以广义相对论解释水星近日点进动》。这是在十一月论文中，仅有的在科学院进行演讲的一篇，爱因斯坦显然是希望从天文学家那里赢得进一步的支持，去验证他的理论属实。爱因斯坦对他的新理论充满了信心，现在他愿意做出努力，将他和贝索在纲领理论情况下得到的方法用于计算近日点的进动，他得到了正确的结果。当爱因斯坦看到这一结果时，他是如此激动，正如他跟一位同事说的那样，他的心在颤抖。提交论文后的一天，希尔伯特（Avd Hilbert）写信给他：“非常感谢您的明信片，并祝贺你征服了近日点运动。如果我能算得像您那么快，那么在我的方程中，电子就不得不举手投降，同时氢原子也会给出道歉条，说明它为何不发出辐射啦。”爱因斯坦接受了道贺，但是没有告诉希尔伯特，这并不需要从头做起，要做的只是对他和贝索的早期计算稍作修改而已。

在十一月理论的背景下，爱因斯坦有了另一项重要的发现。他第一次意识到，从对应原理得到的坐标条件，与从守恒原理得到的坐标约束有着完全不同的含义。为了满足牛顿极限，与牛顿引力理论中传统的坐标选择相对应，从众多允许的坐标中选择自然地描述静止系的坐标系自然是合理的。因此，在现代理解中，选择特定的坐标系仅仅是一个方便的问题，而不是理论本身强加的问题。原则上，爱因斯坦的十一月理论也是如此，尽管守恒原理仍然施加了一些小的坐标约束。

11月25日

在11月25日提交的四篇论文的最后一篇中，爱因斯坦按照其研究程序的内在逻辑，进行了至关重要的最后一步。按照这种逻辑，完全实现广义相对性原理的理论，不应该受到基于守恒原理的坐标约束的限制。

这个目标激发了爱因斯坦克服数学形式和物理解释之间仍然存在的紧张关系。这种紧张关系要么以物理上毫无意义的坐标约束来表达（11月4日理论的情形），要么以关于物质结构的思辨猜测来表达（11月11日提出的基于里奇张量的理论情形）。这两个假设在理论的最终版本中都被证明是多余的。要实现这个最终版本，只需要改变将引力场源插入引力场方程右边的方式。如果能动张量的迹，即其对角分量之和，适当地加到场方程右边的源项上，那么所有附加条件就便是多余的。特别地，作为修正的场方程的自动结果，守恒原理也得到了满足。修正的表达式还存在着另一种形式，在方程左边用现在所熟知的爱因斯坦张量取代原来的里奇张量；不过，爱因斯坦是从方程的右边出发，得到了他的理论的最后修正。只是在计算水星近日点进动的背景下，爱因斯坦学会了如何正确地解释牛顿极限之后，这种修正才成为可能。与爱因斯坦在苏黎世笔记时期所相信的相反，他发现场方程右边的附加项，确实没有干扰它与牛顿极限的相容性。

爱因斯坦在以后的著作中经常强调，引力问题的新解是以黎曼张量为中心的数学理论的自然结果，从黎曼张量中可以获得数学策略的候选者。因此，他本人将1915年末的突破描述为不是物理策略和数学策略相融合的结果，而是数学策略的独家成功。甚至在11月的第一篇论文中，爱因斯坦就被导致正确理论的数学形式的力量迷住了，他写道：“真正掌握它的人，无一不为其魅力所折服，因为它标志着由高斯、黎曼、克利斯朵夫、里奇和勒维—西维他所创立的广义微分学的真正胜利。”（在原始出版物中，这些人名是用大写字母书写的。）

最后的竞赛：爱因斯坦对希尔伯特

当爱因斯坦正致力于他的理论的最后阶段时，一个并存而可相比拟的努力正在哥廷根进行。那个时代公认的领头数学家希尔伯特，递交了他的著名论文《关于物理学的基础》（首次文稿）。这个哥廷根科学院演讲的发布版本含有广义相对论的正确场方程，发布于1915年11月20日，这就是说，是在爱因斯坦递交最后那篇论文的前5天。虽然希尔伯特的论文直到1916年才刊印，但人们常常声称，在提出场方程方面，他应该优先于爱因斯坦。起初，爱因斯坦也担心希尔伯特可能会要求自己的优先权。这是这两位私人兼专业朋友之间虽然短暂但很激烈的争论的根源。”

关于希尔伯特优先权的共识发生了戏剧性的逆转，在他的档案中发现了他在科学院演讲的毛条校样，上面盖有“1915年12月6日”字样的印章，这确定了校样是在爱因斯坦的结论性论文之后。希尔伯特的校样中提出的理论，在某些重要方面与已发布的版本明显不同，因此他一定是在出版前对校样中记录的版本进行了相当大的修改。结果发现，希尔伯特理论校样版本的概念基础，在很多方面更类似于爱因斯坦的纲领理论，而不是广义相对论的最终版本。以此背景而言，希尔伯特似乎未必掌握了解决爱因斯坦问题的钥匙，或者他的贡献未必表示了一种不需要与物理策略交互的数学策略的胜利。

希尔伯特在论文中大度地承认了爱因斯坦的初创权：“在我看来，这里得出的引力微分方程，与爱因斯坦建立的广义相对论的伟大理论是一致的。”

1916年手稿：故事并未结束

在1914年秋天，爱因斯坦对纲领理论的信心达到了顶点，他写了一篇全面的评述性文章《相对论广义理论的形式基础》，发表于普鲁士皇家科学院的会议报告中。爱因斯坦后来在给索末菲的信中，这样提到1915年的科学院论文：“不幸的是，我把我在这场战斗中的最后几个错误，永久地留在了科学院论文中。”在写给朋友爱伦弗斯特的信中，爱因斯坦甚至对自己1914年的评述文章，自我嘲弄道：“爱因斯坦这个家伙每年都要收回前一年所写的，这对他来说已是家常便饭了。”

1915年11月25日之后，爱因斯坦准备总结他的广义相对论，就写在本书所复制的手稿中。手稿的开头两部分非常接近他基于纲领理论而写于1914年的总结文章。手稿中对场方程的引入和对能量动量守恒的讨论，与1914年文章的相应章节有很大不同。这两部分内容非常接近爱因斯坦给爱伦弗斯特的信中所述的内容，在信中爱因斯坦回答了爱伦弗斯特提出的问题和评论，爱因斯坦把爱伦弗斯特当成密友，多次征询他的意见。最后一节包含理论的三个基本预言：在太阳引力场中的光线偏折，引力红移和水星近日点进动。

附加在这份广义相对论手稿正文之后的是一份5页的手稿，题为《附录：基于变分原理的理论表述》。从手稿开头的方程和段落标号来看，爱因斯坦原本打算把它包括在文章的核心部分。后来他改变了那些标号并增加了题目，表明他决定将这部分内容作为文章的附录来发表。最终他决定不将这部分包括在内。大约7个月以后，他在普鲁士皇家科学院的会议报告中发表了一篇非常类似的文章，题目是《哈密顿原理和广义相对论》。

附录填补了爱因斯坦评述论文正文的一个重要空白。它建立了协变性和能量守恒之间的联系，而不受正文中一直采用的幺模坐标的限制。在纲领理论中，爱因斯坦已经建立了这种联系，以诺特（Emmy Noether）关于不变性与守恒定律之间关系的著名定理而达到高潮。但是，使用幺模坐标的最后理论表述，妨碍爱因斯坦延续这一关系。这一缺陷在附录中得以弥补，正如爱因斯坦在与他的朋友和同事通信时自豪讲述的那样。例如，他给贝索的信中写道：“不久之后你会收到我的一篇短文，是关于广义相对论基础的，其中表明了相对性要求是如何与能量原理联系起来的。极有意思。”

发表版本和未刊印的手稿之间的差异是引人注目的，特别是在爱因斯坦提到希尔伯特和洛伦兹的时候。附录手稿包含两个简短的脚注，而在已发表的论文中，这些脚注放在了更醒目和突出的地方，放在整个计算阶段开始前的一段中。对这些差异的解释，提供了一种额外的帮助，用以了解爱因斯坦通往广义相对论之路的最后阶段。

这些介绍性注释重构了导致爱因斯坦在1915年形成广义相对论的探索法的复杂过程。特别是，爱因斯坦的探索法和他的中间数学结果之间的相互影响起到了关键作用。这些具体结果获得了新的物理解释，从而改变了探索法。然而，这种相互影响并没有随着1915年11月结论性论文中场方程的建立而终结。至少直到1930年，爱因斯坦的探索法与新理论含义之间的紧张状态仍表征着它的进一步发展，在某些方面，这个过程甚至延续至今。