第15章　电路方程的矩阵形式

一、计算题

1．如图15-1所示的非平面线图，选定5，6，7，8，9号支路为树。试写出与所选树对应的各基本回路、各基本割集所含的支路。［华中科技大学2007研］

图15-1

解：5，6，7，8，9号支路为树，树支数是5，所以有向图的结点数为n＝6，独立割集数n－1＝5，支路数为b＝9，基本回路数为b－n＋1＝4。对应题中所选的树，得基本回路矩阵为

所以基本回路为{1，7，8，9}，{2，6，8，9}，{3，5，6，8}，{4，5，6，7，8，9}。对应的割集矩阵为

所以基本割集为{5，3，4}，{6，2，3，4}，{7，1，4}，{8，1，2，3，4}，{9，1，2，4}。

2．如图15-2所示电路，开关打开，并处于稳定状态，且已知u_c（0_－）＝0，i_L（0_－）＝0。t＝0时开关闭合。列出以u_c，i_L为状态变量的状态方程，并整理为标准形式。［西安交通大学2006研］

图15-2

解：分析开关闭合后电路状态：

对结点列KCL方程，对含电感、电容的回路列KVL方程：

代入参数并整理成状态方程的标准形式，有：

3．已知某网络的基本割集矩阵为

其对应的支路阻抗矩阵为

试求：（1）基本回路矩阵B；（2）割集导纳矩阵Y；（3）回路阻抗矩阵Z₁。[天津大学2004研]

解：（1）在矩阵Q的每一列中，只有一个不为零且为1的列为1、3、5，所以支路1、3、5为树支，支路2、4、6为连支。将给定的矩阵Q按先树支后连支的顺序重新排列如下：

若均按先树支、后连支的同一支路顺序排列，我们可以把矩阵写成下列形式：

，且存在BQ^T＝0得到B_t＝－Q₁^T，所以得其对应的基本回路矩阵为：

还原为按支路编号顺序的基本回路矩阵：

（2）支路导纳矩阵为：

割集导纳矩阵Y＝QY_bQ^T，代入已知量得：

（3）回路阻抗矩阵为Z₁＝BZB^T，代入已知量得：

4．设电源频率为ω，电路如图（a）所示，其有向图如图（b）。

（1）写出关联矩阵A；

（2）以支路3、4、5为树支，写出基本回路矩阵B_f；

（3）写出支路阻抗矩阵Z（以支路1-6为排列顺序）；

（4）写出支路导纳矩阵Y（以支路1-6为排列顺序）。[北京交通大学2011研]

图15-3

解：（1）关联矩阵A

图15-4

解：（1）根据题意，令，，画出等效电路如图所示，可得：

图15-5

（2）支路导纳矩阵：

节点导纳矩阵：

（3）因为，

所以：　 ， 

又可知：

代入，得：

解非齐次线性方程组，得：

化为三角形，得：　 

6．已知某网络的基本回路矩阵为

其对应的支路阻抗矩阵为

试求：

（1）该网络的回路阻抗矩阵〔Z_L〕；

（2）对应于〔B_f〕的基本割集矩阵〔Q_f〕；

（3）割集导纳矩阵〔Y_C〕。[天津大学2005研]

解：（1）

（2）可得

（3）由已知支路阻抗矩阵得支路导纳矩阵为

可得