8　零点在哪里

随着黎曼论文中的外围命题——那些被黎曼随手写下却没有予以证明的命题——逐渐得到证明，随着素数定理的攻克，也随着希尔伯特演讲的聚焦作用的显现，数学界终于把注意力渐渐投向了黎曼猜想本身，投向了那座巍峨的主峰。

不知读者们有没有注意到，我们谈了这么久的黎曼ζ函数，谈了那么久的黎曼ζ函数的非平凡零点，却始终没有谈及过任何一个具体的非平凡零点。这也是黎曼论文本身的一个令人瞩目的特点，即高度的言简意赅，它除了没有对所涉及的许多命题给予证明外，也没有对所提出的包括黎曼猜想在内的若干最困难的命题提供任何数值计算方面的支持。黎曼叙述了许多有关黎曼ζ函数非平凡零点的命题（比如第5章中提到的三大命题），却没有给出任何一个非平凡零点的数值！

倘若那些非平凡零点是容易计算的，那倒也罢了，可是就像被黎曼省略掉的那些命题个个都令人头疼一样，黎曼ζ函数的那些非平凡零点也个个都不是省油的灯。

它们究竟在哪里呢？

直到1903年（即黎曼的论文发表后的第44个年头），丹麦数学家格拉姆（Grgen Gram，1850—1916）才首次公布了对黎曼ζ函数前15个非平凡零点的计算结果。25在这15个零点中，格拉姆对前10个零点计算到了小数点后第六位，而后5个零点——由于计算繁复程度的增加——只计算到了小数点后第一位。为了让读者对黎曼ζ函数的非平凡零点有一个具体印象，我们把格拉姆所计算的这15个零点列在下面。与此同时，我们也列出了这15个零点的现代计算值（保留到小数点后第七位），以便大家了解格拉姆计算的精度（表8-1）。

表8-1　黎曼ζ函数前15个非平凡零点

几十年来，这是数学家们第一次拨开迷雾实实在在地看到黎曼ζ函数的非平凡零点，看到那些蕴涵着素数分布规律的神秘家伙。它们都乖乖地躺在44年前黎曼画出的那条奇异的临界线上。格拉姆的计算所使用的是18世纪30年代发展起来的欧拉-麦克劳林公式（Euler-Maclaurin formula）26。在只有纸和笔的年代里，这种计算是极其困难的，格拉姆用了好几年的时间才完成对这15个零点的计算。但即便付出如此多的时间，付出极大的艰辛，他在后五个零点的计算精度上仍不得不有所放弃。

在格拉姆之后，贝可隆（Ralf Josef Backlund，1888—1949）于1914年把对零点的计算推进到了前79个零点。再往后，经过哈代、利特尔伍德、美国数学家哈钦森（John Hutchinson，1867—1935）等人的努力（包括计算方法上的一些改进——但主体上仍使用欧拉-麦克劳林公式），到了1925年，人们计算出了前138个零点，它们全都位于黎曼猜想所预言的临界线上。

不过到了这时候，以欧拉-麦克劳林公式为主要手段的零点计算也已经复杂到了几乎令人难以逾越的程度，零点计算暂时陷入了停顿状态。