4.2　数据插值

在工程测量与科学实验中，通常得到的数据都是离散的。如果要得到这些离散数据点以外的其他数据值，就需要根据这些已知数据进行插值。假设测量得到n个点数据，（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），满足某一个未知的函数关系y=f（x），数据插值的任务就是根据已知的n个数据，构造一个函数y=p（x），使得y_i=p（x_i）（i=1，2，…，n）成立，就称p（x）为f（x）关于点x₁，x₂，…，x_n的插值函数。求插值函数p（x）的方法为插值法。插值函数p（x）一般可以用线性函数、多项式或样条函数实现。

根据插值函数的自变量的个数，数据插值可以分为一维插值、二维插值和多维插值等；根据插值函数的不同，可以分为线性插值、多项式插值和样条函数插值等。MATLAB提供了一维插值interp1、二维插值interp2、三维插值interp3和N维插值interpn函数，以及三次样条插值spline函数等。

4.2.1　一维插值

所谓一维插值是指被插值函数的自变量是一个单变量的函数。一维插值采用的方法一般有一维多项式插值、一维快速插值和三次样条插值。

1．一维多项式插值

MATLAB中提供了interp1函数进行一维多项式插值。interp1函数使用了多项式函数，通过已知数据点计算目标插值点的数据。interp1函数的调用格式如下：

其中，Y是在默认自变量x选为1:n的值。

其中，X和Y是长度一样的已知向量数据，xi可以是一个标量，也可以是向量。

其中，method是插值方法，其取值有下面几种：

（1）linear线性插值：这是默认插值方法，它是把与插值点靠近的两个数据点以直线连接，在直线上选取对应插值点的数据。这种插值方法兼顾速度和误差，插值函数具有连续性，但平滑性不好。

（2）nearest最邻近点插值：根据插值点和最接近已知数据点进行插值，这种插值方法速度快，占用内存小，但一般误差最大，插值结果最不平滑。

（3）next下一点插值：根据插值点和下一点的已知数据点插值，这种插值方法的优缺点和最邻近点插值一样。

（4）previous前一点插值：根据插值点和前一点的已知数据点插值，这种插值方法的优缺点和最邻近点插值一样。

（5）spline三次样条插值：采用三次样条函数获得插值点数据，要求在各点处具有光滑条件。这种插值方法连续性好，插值结果最光滑，缺点为运行时间长。

（6）cubic三次多项式插值：根据已知数据求出一个三次多项式进行插值。这种插值方法连续性好，光滑性较好，缺点是占用内存多，速度较慢。

需要注意，xi的取值如果超出已知数据X的范围，就会返回NaN错误信息。

MATLAB还提供interp1q函数用于一维插值。它与interp1函数的主要区别是，当已知数据不是等间距分布时，interp1q插值速度比interp1快。需要注意，interp1q执行的插值数据x必须是单调递增的。

【例4-9】　某气象台对当地气温进行测量，实测数据如表4-1所示，用不同的插值方法计算t=12时的气温。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-10】　假设测量的数据来自函数f（x）=e^﹣0.5xsinx，试根据生成的数据，用不同的方法进行插值，比较插值结果。

程序代码如下：

程序运行结果如下，插值效果如图4-2所示。

由上面的结果可知，interp1q实现插值的速度比interp1要快；最接近点拟合误差大，直线拟合得到曲线不平滑；采用三次样条插值效果最好，曲线平滑，误差很小，基本逼近真实值。

2．一维快速傅里叶插值

在MATLAB中，一维快速傅里叶插值可以用interpft函数实现。该函数利用傅里叶变换将输入数据变换到频率域，然后用更多点实现傅里叶逆变换，实现对数据的插值。函数调用格式为

【例4-11】　假设测量的数据来自函数f（x）=sinx，试根据生成的数据，用一维快速傅里叶插值，比较插值结果。

程序代码如下：

程序运行结果如下，插值效果如图4-3所示。

由上述结果可知，一维快速傅里叶插值interpft实现插值的速度比较快，曲线平滑，误差很小，基本逼近真实值。

3．三次样条插值

三次样条插值利用多段多项式逼近插值，降低了插值多项式的阶数，使得曲线更为光滑。在MATLAB中，interp1插值函数的method选为spline样条插值选项，就可以实现三次样条插值。另外，MATLAB专门提供了三次样条插值函数spline，其格式如下：

【例4-12】　已知数据x=[﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1 0 1 2 3 4 5]，y=[26 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25]，对xi=﹣5:0.5:5，用spline进行三次样条插值，并比较用interp1实现三次样条插值的结果。

程序代码如下：

程序运行结果如下，插值效果如图4-4所示。

由程序结果可知，三次样条插值spline函数实现插值的效果和interp1（x，y，xi，'spline'）一样。

4.2.2　二维插值

二维插值是指已知一个二元函数的若干个采用数据点x、y和z（x，y），求插值点（x1，y2）处的z1的值。在MATLAB中，提供了interp2函数用于实现二维插值，其调用格式为

其中，X和Y是两个参数的采样点，一般是向量，Z是参数采样点对应的函数值。X1和Y1是插值点，可以是标量也可以是向量。Z1是根据选定的插值方法（method）得到的插值结果。插值方法method和一维插值函数相同，linear为线性插值（默认算法），nearest为最近点插值，spline为三次样条插值，cubic为三次多项式插值。需要注意，X1和Y1不能超出X和Y的取值范围，否则会得到NaN错误信息。

【例4-13】　某实验对计算机主板的温度分布做测试。用x表示主板的宽度（cm），y表示主板的深度（cm），用T表示测得的各点温度（℃），测量结果如表4-2所示。

（1）分别用最近点二维插值和线性二维插值法求（12.6，7.2）点的温度。

（2）用三次多项式插值求主板宽度每1cm、深度每1cm处各点的温度，并用图形显示插值前后主板的温度分布图。

程序代码如下：

运行程序，结果如下，图4-5是插值前后主板温度分布图。由图4-5可知，用插值技术处理数据，可以使得温度分布图更加光滑。

4.2.3　多维插值

1．三维插值

在MATLAB中，还提供了三维插值的函数interp3，其调用格式为

其中，X、Y、Z是三个参数的采样点，一般是向量，U是参数采样点对应的函数值。X1、Y1、Z1是插值点，可以是标量也可以是向量。U1是根据选定的插值方法（method）得到的插值结果。插值方法method和一维插值函数相同，linear为线性插值（默认算法），nearest为最近点插值，spline为三次样条插值，cubic为三次多项式插值。需要注意，X1、Y1和Z1不能超出X、Y和Z的取值范围，否则会得到NaN错误信息。

2．n维插值

在MATLAB中，还可以实现更高维的插值，interpn函数用于实现n维插值。其调用格式为

其中，X1，X2，…，Xn是n个参数的采用点，一般是向量，U是参数采样点对应的函数值。Y1，Y2，…，Yn是插值点，可以是标量也可以是向量。U1是根据选定的插值方法（method）得到的插值结果。插值方法method和一维插值函数相同，linear为线性插值（默认算法），nearest为最近点插值，spline为三次样条插值，cubic为三次多项式插值。需要注意，Y1，Y2，…，Yn不能超出X1，X2，…，Xn的取值范围，否则会得到NaN错误信息。