1.3　平面汇交力系的简化与平衡

各力的作用线在同一平面内同时汇交于一点的力系称为平面汇交力系。平面汇交力系的求解方法有两种：几何法和解析法。几何法，可根据力的平行四边形法则将各分力两两合成，最后得到一个合力，或者用力的多边形法则，即将各分力的矢量首尾相接，最后将起点和终点连接起来得到合力；解析法，将各力向坐标投影后进行计算，又称为投影法。本节仅讨论应用更为广泛的解析法。

1.3.1　平面汇交力系的简化 （解析法）

（1）力的投影

在工程应用中，引入力在坐标轴上的投影这个概念。如图1-9所示，假设力F作用在M点，在力F作用线所在平面取直角坐标系Oxy，从力F的起点M和终点N分别向x轴和y轴作垂线，得垂足a、b、c、d，则线段cd和ab分别称为力F在x轴上和y轴上的投影，并分别用Fx和Fy表示。

设力F与x轴所夹锐角为α，则力F的投影表达式为：

　　（1-2）

需要注意：虽然力是矢量，但是力在坐标轴上的投影是代数量，方向用正负号规定。当与坐标轴的正方向一致时为正，用“+”表示，与坐标轴方向相反为负，用“-”表示。

（2）合力投影定理

设在刚体上作用有一平面汇交力系F1、F2、…、Fn，合力为F，其在直角坐标系上的投影分别为F1 x、F2 x、…、Fnx，合力为Fx。因力系对刚体的作用效果等效于合力F对该刚体的作用效果，所以合力在某轴上的投影一定等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这一结论称为合力投影定理。即：

　　（1-3）

1.3.2　平面汇交力系的平衡条件

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力F等于零，由式（1-3）可得：

　　（1-4）

式（1-4）称为平面汇交力系的平衡方程。由此平衡方程得出，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在x、y两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。

【例1-2】梁AB承受力F=10N，a=2m，方向如图1-10所示，求支座A、B处的约束反力。

解　①取梁AB为研究对象。

②受力分析。主动力为F，A为固定铰链支座约束，B为滚动铰链支座约束，如图1-10（b）所示。

③列平衡方程。

∑Fx=0　　　　　　FAx-FBsin30°=0

∑Fy=0　　　　　　        FAy-F+FBcos30°=0

∑MA（Fi）=0　　　　　　        -Fa+FB2acos30°=0

解上述方程式，得：

FAx=2.9N　　　FAy=5N　　　FB=5.8N