4.5 卡诺定理
我们从式（4.4）和式（4.5）看出，工作于不同热源之间的卡诺热机的热机效率只与工作的两个热源温度有关，而与工作介质无关，工作热源温度确定了，卡诺热机的效率就确定了，所有工作于同温热源的卡诺热机的效率是相等的，只要改变了热源的温度就能改变热机的效率。
在19世纪热质论盛行的20年代，卡诺根据卡诺热机效率的研究结果得出了卡诺原理，现称为卡诺定理。
4.5.1 卡诺定理
卡诺定律的内容是：“在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机，其效率都小于可逆热机的效率。”
卡诺定理可进一步解析为：如果在相同的高温和低温热源之间，有可逆热机R，也有不可逆热机I，则不可逆热机的效率一定不能超过可逆热机，用公式表示为ηI≤ηR；如果效率相等，则I也一定是可逆热机。
这里采用归谬反证法证明卡诺定理，证明如下。
设在两个热源Tc、Th之间有一个卡诺热机R，另有一不可逆热机I，两热机从同一高温热源Th吸收等量的热Q，而传给低温热源Tc的热分别为QIc和QRc。现在将此不可逆热机I与逆向卡诺热机R在两热源之间联合工作，如图4-7所示。
图4-7 卡诺定理的证明
不可逆热机从高温热源Th吸热QIh=Q（Q>0），向低温热源Tc传热QIc（QIc<0），对环境做功WI（WI<0）；逆向卡诺热机从环境得到功WR（WR>0），从低温热源Tc吸热QRc（QRc>0），向高温热源Th传热QRh（QRh<0，QRh=-Q）。
假设不可逆热机的热机效率ηI大于卡诺热机的热机效率ηR，即ηI>ηR。
∵ ηI=-WI/QIh=-WI/Q
ηR=-WR/QRh=WR/Q
∴ -WI>WR ①
根据能量守恒，可得
热机I 
②
热机R 
③
将式②、式③代入式①，得
QIh+QIc>-QRh-QRc
又 QIh=-QRh=Q
∴ QIc>-QRc
因此，得-（WI+WR）>0QIc+QRc>0
不可逆热机与卡诺热机联合运行的结果是：不可逆热机对环境做的功WI大于逆向卡诺热机从环境得到的功WR，不可逆热机向低温热源放出的热QIc小于逆向卡诺热机从低温热源吸收的热QRc，总的结果是从单一低温热源吸收的热QIc+QRc全部变成了对环境做的功WI+WR。这是违背热力学第二定律的开尔文说法，是不可能实现的。因此，假设不可逆热机的热机效率大于卡诺热机的热机效率是不能成立的。从而证明了卡诺定理：不可逆热机I的热机效率不可能比可逆热机R的热机效率高，只能是
ηI≤ηR （4.10）
式中“=”表示可逆热机，“<”表示不可逆热机。
4.5.2 卡诺定理推论
根据卡诺定理，可得出推论：“在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关，与可逆循环的种类也无关。”
这一推论仍可用归谬反证法来证明，证明如下：
假设两个可逆机Rl和R2，在同温热源与同温冷源间工作，并设
。
若以Rl带动R2，使R2逆转，则由式（4.10）知
①
反之，若以R2带动Rl，使R1逆转，则有
②
若要同时满足式①和式②，则应有
（4.11）
由此得知，只要是可逆热机，在相同高温、低温两热源间工作时热机效率都相等，与工作物质的本性无关。这样就可以将理想气体进行卡诺循环所得的结果用于其他工作物质。所用的工作物质可以是真实气体，也可以是易挥发的液体，还可以有化学变化如气相化学反应。无论何种工作物质，发生何种变化，只要每一步都是可逆过程，则所有可逆热机的热机效率都是相等的。
思考：
4-14 卡诺定理解决了什么问题？
4-15 卡诺定理还有其他用途吗？