2.1 矩阵论

矩阵论是线性代数的后继课程，是学习经典数学的基础。在线性代数的基础上，进一步介绍了线性空间与线性变换。欧式空间与酉空间，以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。

从应用角度来讲，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究现行动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，并利用Python软件实现快捷的计算分析，将所学的理论知识应用于本专业的实际问题，并转化为解决实际问题的能力。矩阵论作为数学领域的一个重要分支，已成为现代科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力工具。

2.1.1 线性空间与线性变换

线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个非常重要的概念。

设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示，如果V满足下列条件：

（1）在V中定义一个加法运算，即当x,y∈V时，有位移的和x+y∈V，且加法运算满足以下四个性质。

1）交换律x+y=y+x。

2）结合律x+(y+z)=(x+y)+z。

3）存在零元素0，使x+0=x。

4）存在负元素，即对任一向量x∈V，存在向量y∈V，使x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x，于是有x+(-x)=0。

（2）在V中定义数乘运算，即当x∈V，k∈K，有唯一kx∈V，且数乘运算满足以下四个性质。

1）数因子分配率k(x+y)=kx+ky。

2）分配率(k+l)x=kx+lx。

3）结合律k(lx)=(kl)x。

4）lx=x。

则称V为数域K上的线性空间或向量空间。

线性空间V到自身的一种映射就是V的一个变换。

在简要介绍这两个概念的基础上，再讨论两个特殊的线性空间——欧式空间和酉空间。设V是实数域R上的线性空间，对于V中任意二向量x与y，按某规则定义一个实数，用（x,y）表示，且它满足下列四个条件。

（1）交换律：(x,y)=(y,x)。

（2）分配律：(x,y+z)=(x,y)+(x,z)。

（3）齐次性：(kx,y)=k(x,y)(∀k∈R)。

（4）非负性：(x,x)≥0，当且仅当x=0时，(x,x)=0。

则称V为Euclid空间，简称欧式空间或实内积空间。

欧式空间是针对实数域R上的线性空间而言的，而酉空间是一个特殊的复线性空间，两者理论相近，有一套平行的理论。

2.1.2 范数理论

在计算数学中，研究数值方法的收敛性、稳定性及误差分析等问题时，范数理论起到了重要的作用。

若V是实数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实值函数║x║，它满足以下三个条件。

（1）非负性：当x≠0时，║x║≥0，当x=0时，║x║=0。

（2）齐次性：║cx║=│c│║x║（a∈K，x∈V）。

（3）三角不等式：║x+y║≤║x║+║y║（x，y∈V）。

则称║x║为V上向量x的范数，简称向量范数。