第三节 数学分析

四川数学界在数学分析领域中的研究历史早，范围广，成果也较多。发展最好的是泛函分析和偏微分方程，从20世纪二三十年代起有重要成果，60年代有较大发展，70年代已拥有较多的优秀人才，形成了实力较强的队伍，在国内外有一定影响。其中，泛函分析更为突出。70年代以来，一批有较好成果的数学家相继涌现，获省级以上成果奖计有14项，获奖的为复变函数：顾永兴；泛函分析：孙顺华、丁协平、张石生、黄发伦；微分方程：陆文端、白东华、李才中、孙利祥。

一、函数论

（一）实变函数

1956年，四川大学的李子平联系着二级有界变差函数引入了二级绝对连续性的概念，证明二级绝对连续函数f（x）的导数f′（x）到处存在的充要条件是f′（x）绝对连续。四川大学的周雪鸥给出了两个绝对连续函数的例子。1955年，郭大钧讨论了二级斯梯节积分的一些性质。

1984年，王挽澜和王鹏飞得到了一些n个实变量的对称不等式链和积分不等式链。它们是樊畿不等式及其推广的更进一步的拓广，并包括著名的柯西不等式和马克劳林不等式作为特别情形。

（二）复变函数

关于半纯函数（又称亚纯函数）。1942年，蒲保明从某些方面推广了Nevanlinna定理，1956年，证明了两个关于Borel点的定理，推广了李国平和瓦里隆（G.Valiron）（法）关于无限级半纯函数Borel方向的一个定理。1957年，蒲保明证明了关于Borel方向的一个定理，推广了Borel定理和熊庆来定理，比庄圻泰所得的结果更紧密。另外，他还改进了Valiron和李国平的结果。

1978年，南师（南充师院）的顾永兴证明了杨乐、张广厚建立的亚纯函数正规定则在限制较少的条件下仍然成立，由此完全解决了英国数学家海曼（W.K.Heyman）提出的一个关于正规族方面的问题。这项成果获1982年四川省重大科技成果三等奖。

1979年，顾永兴解决了海曼1967年提出的另一问题：“整函数的Miranda定则对亚纯函数是否成立”，此结果被收入杨乐的专著《值分布及其新研究》中。

亚纯函数的另一重要性质是至少存在一条Borel方向，1928年Valiron猜想：“对于γ值代数值函数也存在一条Borel方向，其例外值不超过2γ个”。顾永兴和吕以辇合作，于1982年解决了此问题。

上述两项研究均在国外学术活动中作过介绍和报告，受到同行专家的重视。

1983年，成都气象学院的张庆德与杨乐合作证明：“设f（z）在开平面亚纯，级λ为有穷正数，则不存在一条方向，使在含此方向的任意小角域内f（z）没有有穷λ级Borel例外值，或者它的每一级导数都没有这样的例外值。”他们的文章引用了顾永兴的结果。

二、微分方程

（一）常微分方程

（1）早期研究。1944—1947年，李华宗研究了几个有重要物理力学背景的常微分方程，主要是：由薛定格提出的解斯图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）特征值问题的因子化方法；讨论量子力学中常微分算子的纯代数特性，并把常微分算子中的Hermite项用于识别与其共轭转置或形式自伴简单重合的算子；讨论了力学H系（Hamiltion系）的泛相对积分不变量的存在问题。

（2）动力系统。

①遍历理论与动力系统。1982年以来，成都电讯工程学院（今电子科技大学）的孙利祥研究了单模动力系统的符号字，其主要结果：推广了允许序列集及其序关系，阐明了相关符号字极大性之间的联系，解决了极大的有限符号字及周期符号序列的计数问题；提出了一个关于符号字是否极大的“判别准则”，并给出了（极大）符号字按转移特征的分类法；推广普列沙柯夫斯基（Presarkovskii）定理为极大符号字的“极小极大”意义的相继序结构；阐明了所有极大符号字以及所有的通过一个确定的极大符号字控制的符号字集合的拓扑序结构。美国洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）国家实验室的动力系统专家贝叶（Willliam A.Beyer）称上述判别准则和公式为赫姆贝格-孙（Helmberg-Sun）准则和赫姆贝格-孙公式，1984年电子工业部授予该成果科技进步一等奖。

②拓扑熵。1982—1983年，刘旺金研究了线段及S1上连续映射的拓扑熵，讨论线段到自身连续映射有异状点的充分必要条件，给出了这类映射的拓扑熵为零的一个充分条件，还讨论了S1上一类拓扑熵的计算问题。

③迭代根和嵌入流。1981年以来，张景中、杨路研究了函数迭代根存在问题和离散半动力系统如何嵌入连续流的问题，这些研究包括逐段单调连续自映射迭代根存在的充要条件、线段上连续自映射嵌入半流和拟半流的充要条件、单参数实迭代半群的存在唯一准则等方面的一系列完整结果，这是当时这一领域的主要工作。他们还提出流形上“渐近嵌入”的思想，并和袁晓凤等在Feigeinbaum方程、混沌现象、分歧问题等其他动力系统理论的研究中获得了成果。

（3）Banach空间中的微分方程和泛函微分方程。1977—1978年，关于Banach空间中的微分方程，四川大学的黄发伦建立了有代表性的存在性定理及连续依赖性定理，并对平均力学原理作了本质简化。关于非线性微分方程的稳定性理论，黄发伦对李雅普诺夫方法、线性化方法和扰动方法都进行了研究，得到了很好的判别法则，从而对一致渐近稳定性理论作了本质的改进。关于Banach空间中线性微分方程的稳定性理论，他得到了希尔伯特空间中C0半群指数稳定的条件和C0半群渐近稳定性的一般准则，证明了C0等距群的生成在虚轴上必有一个谱点。关于二阶线性微分方程，黄发伦解决了陈巩（Chen G）和鲁塞尔（Russell）的两个猜想，提出了解析阻尼模型。

（4）空间定性理论。1979年以来，中科院成都分院的刘世泽等在关于空间奇点的拓扑分类、奇点邻域的拓扑结构方面有很好的成果。刘世泽关于具有纯虚特征根的动力系统的研究论文，被1986年国际数学家大会收入会议论文集。此外，这个单位的田景黄、丁孙荭等在多项式微分系统的定性研究、里纳德（Lienard）方程的周期解方面有很好的工作成果，1982年提出了一类极为广泛的条件，保证在一定区域内Lienard方程恰有n个极限环，并以过去的各条件为特例。

（5）生物数学中的常微分方程。1979年，刘世泽等开始这方面的研究，以后相继投入这方面研究并取得较好成果的有丁孙荭，四川大学的伍炯宇、代国仁，重庆大学的陈均平，南充师范学院的张洪德，成都科技大学的顾清芳等，研究范围主要是捕食者-食铒系统、种群繁殖、传染病动力学等。1984年，陈均平和张洪德完成了对具有Holling Ⅲ功能性反应的食铒-捕食者两种群微分方程模型的定性分析，得到了非平凡平衡点全局稳定性条件及正平衡点周围存在唯一极限环的条件。1985年，丁孙荭得到一类捕食者-食铒系统极限环的唯一性，陈均平、张洪德和陈兰荪完成了对两类伏尔泰拉模型的讨论。

（二）偏微分方程

（1）四川大学的魏嗣銮（时珍）是中国最早从事偏微分方程研究的学者之一。1925年在德国哥廷根大学获得博士学位，著有《偏微分方程式理论》（上）。

1953年，西南师范大学的张孝礼研究有界近似解析函数的性质，并应用这种性质研究二阶线性椭圆方程的解。他得到的4个结论分别推广了法图（Fatou）定理、法图和黎斯（Riesz）结果以及布拉希克（Blaschke）关于有界解析函数零点的定理。1955年，他对伯尔氏（Bers）关于近似解析函数的一个定理给出了较好的重证。他对苏联维库阿（Vukya）学派关于广义解析函数和欧美学派关于近似解析函数的研究有深入了解，1962年曾著有专文向国内系统介绍。

（2）索波列夫（Sobolev）空间嵌入定理与椭圆方程。1960—1984年，陆文端系统地研究了各向异性索波列夫空间及其在各向异性赫德尔（Holder）函数空间及Lebesque p幂可积函数空间中的嵌入性质（包括嵌入映象的完全连续性），全面推广了索波列夫空间的重要嵌入定理，从而揭示了索波列夫空间中某些各向异性函数有更高的光滑性及Lebesque可积性。他应用这些嵌入性质及临界点理论，证明一类各向异性二阶半线性退化椭圆方程狄里克利（Dirichlet）问题有多重解，推广了阿布罗塞蒂和拉宾洛维奇（Ambrosetti and Rabinowitz）关于半线性椭圆方程的著名结果。此项研究获得1986年四川省科技进步三等奖。1980年，四川大学的唐贤江利用Fourier变换把各向异性空间嵌入定理推广到分指数的情形。

1985年，陆文端研究了一类各向异性散度型二阶拟线性椭圆方程的Dirichlet问题，得出了多重解的存在定理，从另一方面把Ambrosetti与Rabinowitz的结果作了推广。

此外，唐贤江利用拟微分算子的工具建立了椭圆边值问题的Lp可解性。

（3）双曲型方程。

①拟线性双曲型方程。四川大学的李才中等在解除以往附加的条件A5（即不要求初等波相互作用之后其非线性减弱）之下，就某些特殊初值问题得到整体广义解的存在性。其中，李才中和肖玲讨论解的一些性质，发现了新的现象，得到了基本的重要结果。李才中还得到一个整体解的存在定理，这是间断解关于一般初值大范围存在性的少数几个结果之一。关于解的定性问题，李才中和刘太平先对一个方程情形构造出了渐近态，然后对变截面管道中的跨声速流这一实际问题得到了渐近态稳定与否随管道的几何性状而定的结论。

关于高维空间中一阶拟线性双曲方程的柯西问题，1965年四川大学的白苏华在非凸性条件下证明了解的唯一性。

②二阶双曲型方程。对于二阶双曲型方程具有奇性斜导数的初边值问题，以往仅讨论了边界向量场通过奇点不变号的情形。唐贤江利用拉氏变换和几乎逆映射定理，不仅对奇点可以是低维流形的上述初边值问题建立了更一般的结论，还对某种变号的情形在补充条件下证明了解的存在唯一性。

1981年，四川师范大学的杜心华研究一类二阶双曲自共轭方程的黎曼函数，使用变换群的方法证明了更广的奥列夫斯基公式。

③三阶双曲型方程。1980—1981年，杜心华总结并发展了双曲型方程边值问题的适定提法。对于一类三阶全双曲型方程，他给出了∞4种新的适定区域的提法，提出了适定的充分必要条件，这不仅包含了已有结果作为特例，而且把闭合与非闭合边界都统一在一个条件之下，并举出了特征边值问题不适定的例子。

（4）自由边值问题。1979年，四川大学的白东华、孙顺华把底水油田开采问题归结为一个自由边界问题，并得到了解的存在性证明。1985年，白东华、唐贤江研究水坝中的不稳定渗流的自由边界问题，证明了其相应的抛物拟变分不等式解的存在性。该解也相应于原自由边界问题的弱解。这个结果推进了弗瑞德曼和简生（A.Freidman and R.Jensen）1976年的结果。唐志远和汉斯·列维（Hans Lewy）研究了自由边界的正则性，推广了肯德勒尔和尼伦伯格（Kinderlehrer and Nirenberg）1977年的工作。

（5）周期解与概周期解。

①二阶半线性抛物方程（组）。1982年以来，四川大学的刘宝平采用积分方程法证明耦合半线性抛物方程边值问题的周期解的存在性，并利用平面波方法证明反应扩散方程的概周期平面波解的存在性。

②拟线性双曲方程。1985年，刘宝平把积分方程法发展为积分算子法，研究半线性波方程的概周期解；唐贤江利用有限维正交投影方法得到了带非线性阻尼项的拟线性双曲方程周期解的存在性。

三、积分方程与变分法

（一）积分方程

四川从事积分方程研究的主要是四川大学的张世勋（张鼎铭），他也是国内最早研究积分方程的学者之一。他于1936年出版的《积分方程式论》，为中国第一本积分方程专著。此外，胡坤陞也有较好的研究成果。

（1）关于L2核特征值与奇值的研究。张世勋改变了以往分开研究特征值与奇值的方法，将二者联系起来研究，得到了刻画二者之间关系的重要结论。这被视为线性积分方程特征值理论的奠基性工作。由Zaanen、Schwartz等名家撰写的5种专著及多篇论文介绍或引用了张氏在这方面的工作。

1952年，张世勋给出L2核奇值大小的估计，这与希尔、塔马尔金（Hill, Tamarkin）证明的结果相对应。1954年，张世勋又得到刻画L2核特征值与奇值之间关系的两个不等式。

（2）关于核的研究。1947年，张世勋将关于核的因子分解的格勒斯哥（Glascow）的结论推广到L2核，并讨论一个L2核K有n个因子的规范分解的必要充分条件。1954年，张世勋得到L2核为正规核的充要条件，并得到了正规核的展开式及其积分方程解的表达式。1952—1956年，张世勋把关于连续核的古萨-海伍德（Goursat-Heywood）定理推广到L2核、希尔伯特空间中的线性变换和正规变换，并证明了任一由希尔伯特空间到自身的双重范数为有限且非零的正规变换的特征值的存在性，且这样变换的特征值的绝对值等于它的奇值。1957年，张世勋推广布里亚柯夫不等式并用以得到L2核的展开式。他还推广希尔伯特-施密特的展开定理，应用展开式得到一个有趣的不等式。

（3）其他。1951年，张世勋将伯恩斯坦（Bernstein）定理作了推广，并由此得出线性积分方程弗雷德霍姆（Fredholm）行列式之各系数的性质。1958年，他修正了查伦（Zaanen）在1953年关于Mercer定理推广中的错误。1957年，胡坤陞研究了一类积分微分方程组，他在欧式空间中讨论了其解在局部区域上的存在性和唯一性，改进了拉勒斯柯（Lalesco）关于伏尔泰拉（Volterra）型非线性积分方程的经典结果。他的结果包括第二型Volterra线性积分方程的全部理论，还包含了皮亚诺-贝克尔（Peano-Baker）对一阶线性微分方程解的公式和李达（Da Li）对一个高阶线性微分方程组解的公式。

（二）变分法

中国从事变分法研究的主要学者之一是胡坤陞。1932年，他在美国芝加哥大学获博士学位。胡坤陞的主要工作如下：

（1）Bolza问题。这是变分学中的一个重要问题。它讨论具有变动端点且呈一般形式的拉格朗日（Lagrange）问题。1932年，胡坤陞用纯粹微分方程的理论来研究这个边值问题。他得到了一个重要展开定理，从而证明二级变分为恒正（或非负）的必要充分条件是特征数完全为正（或非负），再利用他对哈尔（Haar）引理的一个推广，给出了Bolza问题的一个新的充分性定理，削弱了对极小化弧的要求，从而完全解决了Bolza问题。

胡坤陞还研究了各种边值系和与它们相应的极小化问题的联系。他的结论包括了Morse的结果，还得到一个基本引理，可用于围绕一条极值曲线的场的构造。

（2）1936年，胡坤陞研究了变分学中的变动端点问题，他把问题化简为n个变数的函数W（λ）的通常极小，从而推广了Hahn对n = 2得到的定理，同时还推广了席恩伯格（Schienberg）法则。1956年，胡坤陞给出了由参数形式和通常形式表示的n重积分横截条件。

（3）变分学中几个重要结论的推广。1957年，胡坤陞研究了著名的Haar引理，他对n维空间给出了一个比Haar引理中的充要条件更有用的另一组充要条件，进而把与Haar引理密切联系的Haar定理推广到n维情形，还削弱了定理的条件。1958年，胡坤陞推广了变分学中两个著名的引理：杜·布瓦·雷蒙（Du Bois Reymond）引理和久保（Kubota）引理。并给出了对变分法和索波列夫（Sobolev）广义导数的应用。1959年，他又把这两个引理再加以推广，使之能适用于变分法中的等周问题，并给出了两个在实函数中有用的结论。

四、泛函分析

（一）线性泛函分析

（1）线性算子的谱理论。四川最早从事泛函分析研究的学者是四川大学的曾远荣，他也是中国最早研究泛函分析的学者之一。研究方向侧重Hilbert空间中线性算子的谱理论和广义逆算子。1933年，曾远荣在美国芝加哥大学完成了博士论文，题为“非希尔伯特空间中厄米特泛函算子的特征值问题”，文中最早讨论了算子的广义逆问题。1949年，曾远荣引进逼真解和广义逆的概念，运用近代算子理论来研究一类广泛的线性方程。他引进矛盾方程的“矛盾度ρ”的概念和基本概念“极端逼真解”，用这些方法与谱论结合来解决一类二次泛函的简化问题，得出充分必要条件和解的公式。在特别情形，极端逼真解还具有希尔伯特-施密特-卡勒曼（Hilberte-Schmidt-Carleman）型的固有展开。

直到20世纪40年代，在内积空间中逆算子问题的主要工作是有界无穷矩阵的特普利茨（Toeplitz）分类、尤尼亚（Julia）的改进（只提出7类）和穆尔（Moore）的广义逆矩阵，而曾远荣沿着根本不同的思路完成了关于逆算子的一个系统研究（分为16类）。他提出广义逆算子存在的充分必要条件，并从一种几何观点把封闭算子分为4大类16小类，对其中3大类得出它们的特征。

曾远荣还提出并应用逼真解和广义逆算子解决Hesse标准型问题。

在美国数学家埃斯瑞尔（A.Ben Isreal）和格雷维尼（T.N.E. Greville）的专著《广义逆：理论与应用》一书的第8章中，多处介绍曾远荣的工作。

（2）关于Banach空间中的线性算子理论。1956年，郭大钧研究了索波列夫（Sobolev）所引入的一般全连续算子集。他证明，如果全连续算子列（An）按范数收敛于线性算子A，则（An）一致全连续且强收敛于A。郭大钧还找出了有界算子集为一致连续的充分必要条件。

（3）次正规算子与哈尔莫斯（Halmos）第5问题。1970年，美国著名数学家哈尔莫斯提出了关于希尔伯特空间算子的10个问题，它推动了整个20世纪70年代的算子理论研究，其中第5问题是：是否每个次正规算子都必定是解析的或者是正规的？1981—1983年，孙顺华解决了由美国数学家阿布拉哈塞（Abrahamse）提出的以哈尔莫斯第5问题为核心的3个问题，他证明了贝格曼（Bergman）位移不酉等价于任一特普里茨（Toeplitz）算子，给出带权数的亚正规算子酉等价于Toeplitz算子的充要条件，在此基础上，给出了Toeplitz算子属于θ类的充要条件，给出了既非正规又非解析的次正规Toeplitz算子，从而使Halmos第5问题的解决成为这些工作的自然结论。

美国数学家柯文（C.C.Cowen）于1983年宣布解决了Halmos第5问题。柯文在他的论文中写道：由阿克斯列尔（Axler）明白易懂地介绍了孙顺华的结果，才使他的工作成为可能。并在他的论文中大量阐述和引用孙顺华的结果。

孙顺华的这项研究工作，还发展了引人注目的Toeplitz算子理论。1984年7月，他应邀到英国兰卡斯特（Lancaster）大学召开的“算子与函数理论”国际会议上作了题为“次正规算子与Halmos第5问题”的报告，受到了Halmos本人和其他专家的赞扬。

（4）算子理论的巴拿赫（Banach）技巧。1979—1984年，孙顺华引进了G完全对称Banach代数概念，并由此解决了米赫林（Mikhlin）1960年提出的多维奇积分算子在Lp（p ≠2）中的弗雷德霍姆（Fredholm）充要条件。由同一理论给出了椭圆型拟微分方程组在Lp（p ≠2）中的Fredholm充要条件。

（二）非线性泛函分析

（1）不动点理论。1981—1985年，四川师范大学的丁协平在对压缩型和非扩张型映象不动点的研究中，取得了下述成果：

①对若德斯（Rhoades）1977年提出的一类广义压缩型映象是否存在不动点的问题给出了肯定的证明。Rhoades把丁协平的结果收入了他的综述论文中。

②对1976年Rhoades提出的石川（Ishikawa）迭代法能否被推广到由赛里克（Ciric）定义的拟压缩映象这一问题，在更广泛的映射类上给出了解答。

③对1977年Rhoades提出的压缩映象对公共不动点的存在性问题，在更广泛的映象类中给出了解答。

与此同时，四川大学的张石生在对1977年Rhoades提出的问题的研究中引入C映象的概念，得出了C映象存在不动点的充要条件，作为推论彻底解决了Rhoades问题，并在映象类上有进一步的发展，张石生和成都科技大学的康世焜还得到了2距离空间中压缩映象的若干结果。

1979—1985年，四川师范大学的张庆雍研究1-集压缩和多值1-集压缩场的满射性，把线性全连续算子的一个Fredholm抉择定理推广到1-集压缩映象，使之和拓扑度的计算联系起来，在边界条件最弱、结果形式更一般的情形下，得到了Pr紧算子方程x ∈Ax关于锥的拉伸与压缩的不动点的存在与近似问题的若干结论，并去掉了序Banach空间（X, P）中的锥必须正规的条件，证明了更一般的极限紧映射的不动点关于参数的连续性。

（2）非线性算子的特征值和嵌入定理。张庆雍研究某些非线性全连续算子的特征值，证明了在一定的条件下，±1/λ都是A的特征值，从而方程（I +λA）x =y和（I -λA）x =y均在B（o, r）中有两个不同的解，证明了嵌入算子的全连续性（0 ≤m ≤l）。

（3）随机分析。四川的研究主要是从泛函分析对概率论的应用的角度来展开的。

1983—1985年，张石生系统研究了概率度量空间中压缩型和非扩张型映象的不动点定理，统一发展了国外许多数学家的工作，并把所得理论成果用于研究随机算子方程、Banach空间和概率度量空间中非线性伏泰拉积分方程解的存在性和唯一性。这些工作收入哈兹克（O.Hadzic）的专著《拓扑向量空间中不动点理论的新发展》中的第3章。张石生还引入豪斯道夫（Hausdorff）度量和研究门格（Merger）概率度量空间的性质，得到了概率度量空间中集值映象的两个不动点定理。此后，康世焜推广了张石生的某些成果。

1983—1985年，丁协平较系统地研究点值和集值随机算子和算子方程组的求解问题。他首先对点值随机算子组及集值随机算子引入随机收缩概念，用以证明点值随机算子方程组解的存在唯一性及一类集值随机算子方程解的存在性，并给出了逼近解的迭代序列。随机收缩方法对求解随机算子积分和微分方程组提供了有力的工具。

此外，西南师范大学的周忠群建立了几乎概率度量（简称APM）空间的框架，并研究APM空间的拓扑性质和完备性、APM空间的乘积空间及其性质。

1982—1985年，成都科技大学的陈绍仲和四川大学的刘作述研究抽象度量空间中的随机不动点定理和随机集值映象的不动点定理。刘作述还研究了嵌入定理对统计度量空间的应用。

另外，结合模糊集论的概念，陈绍仲和刘作述还研究模糊概率与模糊测度论中的一些基本概念，建立了模糊概率的公理体系及模糊概率的扩张定理，得到了模糊概率的积分表现定理，阐明了模糊测度与经典测度之间的密切关系。刘作述得到了模糊集值映射的一些性质。