2.1 轴向拉伸与压缩

2.1.1 轴向拉伸与压缩实例

轴向拉伸或压缩是杆件基本变形中最简单、最常见的一种。在图2.1（a）所示的支架中，杆AB、杆BC铰接于B点，在B点铰接处悬吊重物W，由图2.1（b）静力分析可知：杆AB是二力构件，受到压缩；杆BC也是二力构件，受到拉伸。

此外，内燃机中的连杆、压缩机中的活塞等均属此类。这些构件具有共同的受力特点：作用于构件的外力与构件的轴线重合，构件的变形沿着轴线方向伸长或缩短。图2.2所示为轴向拉伸与压缩的简图。

2.1.2 截面法、轴力与轴力图

1.内力

杆件以外物体对杆件的作用力称为外力。杆件在外力作用下，连接两部分之间的相互作用力称为内力。内力随着外力的增大而增大，达到一定限度时，杆件就会发生破坏。

2.截面法

要确定杆件某一截面中的内力，可以假想将杆件沿所求内力的截面截开，将杆分为两部分，并取其中一部分作为研究对象，此时，截面上的内力被显示出来，并成为研究对象上的外力。再由静力平衡条件求出此内力。这种求内力的方法称为截面法。其步骤概括如下。

（1）截：沿欲求内力的截面，假想用一个截面把杆件分为两段。

（2）取：取出任一段（左段或右段）为研究对象。

（3）列：列平衡方程式，求解内力。

3.轴力与轴力图

拉、压杆内力的作用线与杆件轴线重合，用符号FN表示，称为轴力。方向规定：当轴力的方向背离截面时，杆件受拉，规定为正；当轴力的方向指向截面时，杆件受压，规定为负。

为了形象直观地表示出各截面轴力的大小，用平行于杆轴线的x轴表示横截面位置，以垂直于x轴的坐标FN表示轴力的数值，将各截面的轴力按一定比例画在坐标图上，并连以直线，得到的图线称为轴力图，如图2.3所示。轴力图可以形象地表示轴力随杆长的变化情况，明显看出最大轴力所在的位置。

例2.1　杆件受力如图2.4（a）所示，已知F1=20kN，F2=30kN，F3=10kN。试画出杆的轴力图。

解：（1）计算各段杆的轴力。

CD段：用1-1截面在CD段内将杆件截开，取左段为研究对象，如图2.4（b）所示，以FN1表示截面上的轴力，并假设为拉力。由平衡方程：

得：

式中，负号表示CD段轴力FN1实际为压力。

BC段：类似上述步骤，如图2.4（c）所示，由平衡方程：

得：

式中，正号表示BC段轴力FN2实际为拉力。

AB段：同上。如图2.4（d）所示，可得：

（2）画轴力图。以平行于杆轴的x轴为横坐标，垂直于杆轴的FN轴为纵坐标，按一定比例将各段轴力标在坐标上，可作出轴力图，如图2.4（e）所示。

2.1.3 拉（压）杆横截面上的应力

求出杆件轴力后，要解决强度问题还需要进一步研究横截面上的应力。应力的分布情况不能直接观察出来，但内力与变形有关，因此，可以通过变形来推测应力的分布。

如图2.5所示，在一等截面直杆的表面上，刻画出与轴线垂直的横线ab、cd。在杆的两端施加一对轴向拉力F，可以观察到，ab、cd平行向外移动并与轴线垂直，只是相对距离增大了。

根据上述现象，假设在变形过程中，横截面始终保持为横截面，即为平面假设。在平面假设的基础上，设想任意两横截面之间所有纵向纤维都伸长相同的长度。

根据材料的均匀连续假设，横截面上各点处纵向纤维的变形相同，受力也相同，因而轴力在横截面上是均匀分布的，且方向垂直于横截面。由上述可得结论：轴向拉（压）时，横截面上各点处产生正应力，用符号σ表示。其应力公式为：

（2-1）

式中，FN——横截面的轴力（N）；

A——横截面面积（mm2）。

应力的单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即1Pa=1N/m2。由于Pa的单位较小，工程中常用MPa（N/mm2）或GPa作为应力单位，它们之间的换算关系为：

1GPa=103MPa=109Pa

正应力σ的正负规定为：拉应力为正，压应力为负。

例2.2　如图2.4所示的例2.1的杆件，若各段横截面面积A=100mm2，试求各段横截面上的正应力。

解：（1）计算各段轴力并作轴力图。

CD段：FN1=-20kN

BC段：FN2=10kN

（2）确定应力。

CD段：=-200MPa（压应力）

BC段：=100MPa（拉应力）

2.1.4 拉伸与压缩变形

1.变形与线应变

如图2.6所示，等截面直杆的原长为l，横向尺寸为b，在轴向外力作用下，纵向伸长到l1，横向缩短到b1。把拉（压）杆的纵向伸长（或缩短）量称为绝对变形，用△l表示；横向伸长（或缩短）量用△b表示。

轴向变形：△l=l1-l

纵向变形：△b=b1-b

拉伸时△l为正，△b为负；压缩时△l为负，△b为正。

绝对变形与杆件的原长有关，不能准确反映杆件的变形程度。消除杆长的影响，单位长度的变形量称为相对变形，用ε、ε1表示为：

ε与ε1都是量纲为1的量，又称为线应变，其中ε称为纵向线应变，ε1称为横向线应变。

实验表明，在材料的弹性范围内，其横向线应变与纵向线应变的比值为一常数，记作μ，称为泊松比。

几种常用工程材料的μ值见表2-1。

2.胡克定律

实验表明，对等截面、等内力的拉（压）杆，当应力不超过某一极限值时，杆的纵向变形△l与轴力FN成正比，与杆长l成正比，与横截面面积A成反比。这一比例关系称为胡克定律。引入比例常数E，即

（2-2）

式中，比例系数E称为材料的拉（压）弹性模量，单位为GPa。各种材料的弹性模量E由实验测定。几种常用工程材料的E、μ值见表2-1。

由公式（2-2）可知，轴力、杆长、横截面面积相同的直杆，E值越大，△l越小，这说明E值表征了材料抵抗弹性变形的能力。EA值越大，△l越小，拉（压）杆抵抗变形的能力就越强，所以，EA值是拉（压）杆抵抗变形能力的量度，称为杆件的抗拉（压）刚度。

对式（2-2）除以l，并用σ代替FN/A，胡克定律可化简成另一种表达形式，即

（2-3）

式（2-3）表明，当应力不超过某一极限值时，应力与线应变成正比。

2.1.5 材料拉伸与压缩时的力学性能及强度计算

1．材料拉伸与压缩时的力学性能

材料在外力作用下表现出来的性能称为材料的力学性能。材料的力学性能是通过试验的方法测定的，它是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依据。

（1）塑性材料拉伸与压缩时的力学性能。工程中应用较广泛的塑性材料为低碳钢、铜和铝等。低碳钢在拉伸试验中具有典型性，因此主要介绍它的力学性能。通常把试验用的材料按国标中规定的标准，先做成如图2.7所示的标准试件，试件中间等直径杆部分为试验段，其长度l称为标距。

①低碳钢拉伸时的力学性能。试验时，将试件两端装夹在试验机工作台上、下夹头里，然后对其缓慢加载，直到把试件拉断为止。试验机上装有自动绘图仪，能自动绘出载荷F与变形△l的关系曲线，称为F-△l曲线。为消除尺寸的影响，将曲线纵坐标除以试件横截面面积A，横坐标除以试件长度l，F-△l曲线就变成σ-ε曲线。图2.8为低碳钢Q235拉伸时的σ-ε曲线。

由试验结果可以看出，其σ-ε曲线可分为以下四个阶段：

a．弹性阶段。在应力不超过点所对应的应力时，材料的变形全部是弹性的，即卸除载荷时，试件的变形全部消失。弹性阶段的最高点相对应的应力值σe为材料的弹性极限。

在弹性阶段内，Oa是直线，表明应力与应变成正比，材料符合胡克定律，即σ=Eε。直线Oa的斜率tana==E称为材料的弹性模量。直线部分最高点a对应的应力值σp称为材料的比例极限。Q235的σp≈200MPa。

由于弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常不严格区分。

b．屈服阶段。当应力超过图2.8（b）中b点后，出现了锯齿形曲线，这表明应力变化不大，但应变急剧增加，材料失去了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的屈服，屈服阶段的最低点应力值σs称为材料的屈服极限，这时试件表面出现了与轴线大约成45°的滑移线。在这一阶段，材料将出现不能消失的塑性变形，这在工程上是不允许发生的。因此屈服极限σs是衡量材料强度的重要指标。Q235的σs≈235MPa。

c．强化阶段。经过屈服阶段后，曲线从c点开始逐渐上升，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为强化，这一阶段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力值σb称为材料的强度极限，它是衡量强度的另一个重要指标。Q235的σb≈400MPa。

d．颈缩阶段。应力达到σb后，试件在某一局部范围内横向尺寸突然缩小，出现“颈缩”现象，如图2.9所示。试件很快被拉断。

e．塑性指标。

伸长率：

式中，δ——伸长率；

l1——试件拉断后的长度；

l——试件原长度。

一般把δ≥5%的材料称为塑性材料；δ＜5%的材料称为脆性材料。

截面收缩率：

式中，ψ——截面收缩率；

A——试件原横截面面积；

A1——试件断口处横截面面积。

δ、ψ值越大，其塑性越好，因此，δ、ψ是衡量材料塑性的主要指标。Q235的δ= 25%～27%，ψ=60%，是典型的塑性材料；而铸铁、混凝土、石料等没有明显的塑性变形，是脆性材料。

f．冷作硬化。在σ-ε曲线上的某一点f停止加载，并缓慢地卸去载荷，σ-ε曲线将沿着与Oa近似平行的直线fg退回到g点，gh是消失了的弹性变形，Og是残留下来的塑性变形，若卸载后再重新加载，σ-ε曲线将基本沿着gf上升到f点，再沿fde线直至拉断。把这种将材料预拉到强化阶段后卸载，重新加载使材料的比例极限和屈服极限得到提高而塑性降低的现象，称为冷作硬化。工程中利用冷作硬化来提高材料的承载能力，如冷拔钢筋。

②低碳钢压缩时的力学性能。图2.10所示实线是低碳钢压缩时的σ-ε曲线，与拉伸时σ-ε曲线（虚线）相比较，在屈服阶段以前，两曲线重合，低碳钢压缩时的比例极限、屈服极限、弹性模量均与拉伸时相同，过了屈服极限之后，试件越压越扁，不能被压坏，因此，测不出强度极限。

（2）脆性材料在拉伸与压缩时的力学性能。

①抗拉强度σb。铸铁是脆性材料的典型代表。图2.11（a）是铸铁拉伸时的σ-ε曲线，从图中可以看出，曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无颈缩现象而发生断裂破坏，断口平齐，塑性变形很小。把断裂时曲线最高点所对应的应力值σb称为抗拉强度。

②抗压强度σbc。图2.11（b）是铸铁压缩时的σ-ε曲线，曲线没有明显的直线部分，在应力很小时可以近似地认为符合胡克定律。曲线没有屈服阶段，变形很小时沿轴线大约成45°的斜面发生破坏。曲线最高点的应力值称为抗压强度，用σbc表示。

与拉伸σ-ε曲线比较，铸铁材料的抗压强度约是抗拉强度的4～5倍。其抗压性能远大于抗拉性能，反映了脆性材料共有的属性。因此，工程中铸铁等脆性材料常用作受压构件。

2．杆件拉伸与压缩时的强度计算

（1）许用应力。任何工程材料能承受的应力都是有限度的，一般把使材料丧失正常工作能力时的应力称为极限应力。塑性材料的屈服极限σs与脆性材料的强度极限σb都是材料的极限应力。

由于工程构件的受载难以精确估计，以及构件材质的不均匀性、计算方法的近似性，为确保构件安全，还应使其有适当的强度储备。一般把极限应力除以大于1的安全系数n作为工作应力的最大允许值，称为许用应力，用[σ]表示，即

塑性材料：

脆性材料：

ns、nb分别为塑性材料和脆性材料的安全系数。

安全系数的选取是一个比较复杂的工程问题，如果取得过小，许用应力就会偏大，设计出的构件截面尺寸将偏小，虽能节约材料，但其可靠性会降低；若取得过大，许用应力就会偏小，构件截面尺寸将偏大，虽能偏于安全，但需多用材料，因此安全系数一定要选取得当。工程中塑性材料的安全系数ns=1.5～2.5，脆性材料的安全系数nb=2.0～3.5。

（2）拉、压杆的强度计算。为了保证杆件具有足够的强度，要求杆件内最大工作应力不得超过材料的许用应力，即

（2-4）

式（2-4）即为拉、压杆的强度条件。

对于塑性材料，拉、压强度条件相同；而对脆性材料来说，许用拉应力与许用压应力不相同，拉、压强度条件分别为：

拉强度条件：≤[σ+]

压强度条件：≤[σ-]

利用强度条件可以进行三方面计算：

①强度校核。已知构件的横截面面积、材料的许用应力及所受的载荷，应用式（2-4）可以检验构件的强度是否足够。

②设计截面。已知构件所受的载荷及材料的许用应力，则构件所需的横截面面积可用下式计算：

③确定许可载荷。已知构件的横截面面积A及材料的许用应力，则构件所承受的载荷可用下式计算：

例2.3　某铣床工作台进给液压缸如图2.12所示，缸内工作液压p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d= 18mm，已知活塞杆材料的[σ]=50MPa，试校核活塞杆的强度。

解：（1）求活塞的轴力。

（2）按强度条件校核。

因为＜，所以活塞杆强度足够。