命题III.16

从圆的直径的端点作垂直于直径的直线。该直线落在圆外；且在该线与圆周之间不可能插入第二条直线；且半圆角大于任何锐角；而余下的角小于任何锐角。

设：圆为ABC，D为圆心，AB为直径。

求证：从A点作垂直于AB的直线一定落在圆外。

如果可能，假定落在圆内如CA，连接DC。

因为：DA等于DC，∠DAC也等于∠ACD（命题I.5）。

而∠DAC是直角，于是∠ACD也是直角；于是在三角形ACD中，∠DAC、∠ACD之和等于180°，这是不可能的（命题I.17）；

所以：从A点引出的垂直于AB的线不落在圆内。

同样，可以证明不能落在圆周上，所以它只能落在圆外。

设：该直线为AE。

进一步说：在直线AE与圆弧CHA之间不可能存在第二条线。

假设它们之间存在第二条直线，假定它为FA，从D点作DG垂直于FA（命题I.12）。

因为：AGD为直角，而∠DAG小于直角，所以AD大于DG（命题I.17、I.19）。

又，DA等于DH，于是：DH大于DG，于是小大于大，这是不可能的。

所以：在这个平面上，不可能在该直线与圆周之间再引出另一条直线。

进一步说：直径AB与圆弧CHA所包含的半圆角大于任何锐角，其余角即CHA与AE包含的角小于任意锐角。

因为，如果有某一直线角大于由直线BA与圆弧CHA包含的角，而且某一直线角小于由圆弧CHA与直线AE所包含的角。

那么，在平面内，在圆弧CHA与直线AE之间可以插入直线包含这样一个角，是由直线包含的，而它大于直线BA与圆弧CHA包含的角，而且直线包含的其他的角皆小于由圆弧CHA与直线AE包含的角。

但是，这样的直线不能插入。

所以：没有由直线包含的任何锐角大于由弦BA与圆弧CHA包含的角；也没有由直线包含的任何锐角小于由圆弧CHA与直线AE包含的角。

所以：从圆的直径的端点作垂直于直径的直线。该直线落在圆外；且在该线与圆周之间不可能插入第二条直线；且半圆角大于任何锐角；而余下的角小于任何锐角。

证完

推论

由此可得，由圆的直径的端点作与它成直角的直线与此圆相切。

注解

这一命题应用在命题IV.4中，也应用在卷4的其他命题中。推论应用在本卷的命题III.33、III.37中，也应用在卷4的其他命题及命题XII.16中。