命题III.32

弦切角等于所夹弧所对应的圆周角。

设：直线EF切圆ABCD于B点，从切点B作圆的弦BD。

求证：弦BD与切线EF构成的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即∠FBD等于弓形上的∠BAD；而∠EBD等于弓形上的∠DCB。

令：从B点作BA垂直于EF，在圆弧BD上任取一点C，连接AD、DC和CB（命题I.11）。

因为：直线EF与圆ABCD相切于B点，BA是切点上引出的弦，并垂直于切线，那么圆ABCD的圆心一定在BA线上（命题III.19）。

所以：BA是圆ABCD的直径。所以：∠ADB是半圆上的角，因此为直角（命题III.31）。所以：∠BAD、∠ABD之和等于一个直角（命题I.32）。

又，因为∠ABF也是直角，所以：∠ABF等于∠BAD与∠ABD之和。

令以上每个角减去∠ABD，于是：余角∠DBF等于∠BAD。而它在相对的弓形上。

又，因为ABCD是圆内接四边形，所以：对角之和等于180°（命题III.22）。

又，因为∠DBF、∠DBE之和也等于180°，所以：∠DBF与∠DBE之和等于∠BAD与∠BCD之和，其中∠BAD已被证明等于∠DBF。

所以：∠DBE等于弓形DCB上的∠DCB。

所以：弦切角等于所夹弧所对应的圆周角。

证完

注解

这一命题应用在下两个命题中，也用在卷4的一命题中。