命题IV.4

给定一个三角形可以作一个内切圆。

设：ABC为给定的三角形。

求作：三角形ABC的内切圆。

令：BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于D点，从D点作DE、DF和DG分别垂直于AB、BC和CA（命题I.9、I.12）。

因为：∠ABD等于∠CBD，直角∠BED也等于直角∠BFD，三角形EBD和三角形FBD有两对角和一条边对应相等，对应边BD为公共边。

所以：它们的余边彼此相等。所以：DE等于DF（命题I.26）。同理，DG也等于DF。

所以：三条线段DE、DF和DG也彼此相等。

所以：以D为圆心，以DE、DF或DG中的任意一条线为半径的圆也经过余下的点，并与线段AB、BC或CA相切，因为在E、F和G点的角是直角。

假如圆不切于这些直线，而与它们相交，那么从尾点引出的垂直于直径的直线必然有一部分经过圆内，这是荒谬的。

所以：以D为圆心，分别以线段DE、DF和DG为半径作的圆不能与线段AB、BC和AC相交，只能相切，所以圆内切于三角形ABC（命题III.16、定义V.5）。

令其为FGE。

于是：三角形ABC的内切圆EFG作了出来。

所以：给定一个三角形可以作一个内切圆。

证完

注解

补充出证明的漏洞是容易的，角等分线BD和CD不相交。