命题IV.6

给定一个圆可以作一个内接正方形。

设：ABCD为给定的圆。

求作：圆ABCD的内接正方形。

令：作圆ABCD的两条直径AC、BD，并相互垂直，连接AB、BC、CD和DA（命题III.1、III.11）。

因为E为圆心，所以：BE等于ED。EA是公共边，并形成直角，所以：第三边AB等于第三边AD（命题I.4）。

同样原因，线段BC、CD也等于线段AB、AD。所以：四边形ABCD是等边的。

进一步说：它们是直角。

因为直线BD是圆ABCD的直径，所以：BAD是半圆。所以：∠BAD是直角（命题III.31）。

同样原因：∠ABC、∠BCD和∠CDA也是直角。

所以：四边形ABCD是直角的。

又，也已经证明是等边的。它是正方形，并内接于圆ABCD。

所以：给定一个圆可以作一个内接正方形。

证完

注解

这一命题应用在卷12从XII.2开始的几个命题中。