命题IV.15

在给定的圆内，可以作内接正六边形。

设：ABCDEF为给定的圆。

求：圆ABCDEF内作一个内接正六边形。

令：作圆ABCDEF的直径AD，G为圆心，以DG为半径作圆EGCH。连接EG、CG，并延伸至B、F，连接AB、BC、CD、DE、EF和FA（命题II.1）。

那么：ABCDEF是正六边形。

因为G为圆ABCDEF的圆心，所以GE等于GD。

又因为D为圆EGCH的圆心，所以：DE等于DG。而GE已被证明等于GD，所以GE也等于ED。所以：三角形EGD是等边三角形。所以：它的三个角∠EGD、∠GDE和∠DEG彼此相等。这是因为等腰三角形中底角相等（命题I.5）。

又因为：三角形的三内角的和等于180°。所以：∠EGD是60°（命题I.32）。

同样，∠DGC也能被证明是60°。又因为线段CG与EB构成的邻角∠EGC和∠CGB之和等于180°，所以：∠CGB也等于60°（命题I.13）。

所以：∠EGD、∠DGC和∠CGB彼此相等，它们的对顶角∠BGA、∠AGF和∠FGE彼此相等（命题I.15）。

所以：六个角∠EGD、∠DGC、∠CGB、∠BGA、∠AGF和∠FGE彼此相等。

又，相等的角作在相等的弧上，所以：六段弧AB、BC、CD、DE、EF和FA彼此相等（命题III.26）。

又，因为等弧所对的弦相等，所以：六条线段彼此相等。

所以：六边形ABCDEF是等边的（命题III.29）。

以下进一步说明，它们的角也相等。

因为：弧FA等于弧ED。令弧ABCD与每个相加，于是：弧FABCD等于弧EDCBA。

又，∠FED作在弧FABCD上，∠AFE作在弧EDCBA上，所以：∠AFE等于∠DEF（命题III.27）。

同样，可以证明六边形ABCDEF其余的角也等于∠AFE、∠FED。

所以：六边形ABCDEF是等角的。

又，六边形ABCDEF也是等边的，并内接于圆ABCDEF。

所以：在给定的圆内，可以作内接正六边形。

证完

推论

这一命题表明，六边形的边等于圆的半径。如果过圆的分点，作该圆的切线，就得到圆的一个等边且等角的外切六边形。同样，给定一个正六边形，也可以作它的内切圆和外接圆。

注解

推论应用在卷13从XIII.9开始的几个命题中。