命题V.3

如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的相同倍数；如果第一量和第三量也是等倍数，那么这两个量分别是第二个量及第四个量的倍量，并且这两个倍数相等。

设：第一个量a的数量值是第二个量b的相同倍数，第三个量c是第四个量d的相同倍数，EF是a的等倍数，GH是c的等倍数（定义V.2）；

求证：EF是b的相同倍数，GH是d的相同倍数。

因为EF是a的相同倍数，GH是c的相同倍数。

所以：在EF中有多少个a的相同的量值，在GH中有同样多个c的相同量值。

另：将EF分为EK和KF，使其量值等于a。将GH分为GL和LH，使其量值等于c。

那么EK与KF的量值数等于GL与LH的量值数。

又因为，a是b的相同倍数，c是d的相同倍数，这时EK等于a，GL等于c，故EK是b的相同倍数，GL是d的相同倍数。

同理，KF是b的相同倍数，LH是d的相同倍数。

那么第一个量EK是第二个量b的相同倍数，第三个量GL是第四个量d的相同倍数，第五个量KF是第二个量b的相同倍数，第六个量LH是第四个量d的相同倍数。

所以：第一个量与第五个量之和EF是第二个量b的倍数，第三个量与第六个量之和GH是第四个量d的倍数（命题V.2）。

所以：如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的相同倍数；如果第一量和第三量也是等倍数，那么这两个量分别是第二个量及第四个量的倍量，并且这两个倍数相等。

证完

注解

这一命题说等倍量相等。即如果w和x是y和z的等倍量，u和v是w和x的等倍量，那么，u和v是y和z的等倍量。证明依赖于乘法的欧几里得算法，即：m（ny）＝（mn）y。在欧几里得的证明中，n是3，m是2。

如同在上一命题中，量并不总需要是同一个类。

虽然这一命题实际上并不是陈述比例，但仍然可以解释为比例，对a和c是b和d的等倍量的假设，可以解释为比例a∶b＝c∶d，且ma和mc是b和d的等倍量的这一结论也可以解释为一个比例，即ma∶b＝mc∶d。在这一解释下，这一比例成为下一命题中证明普遍情形的特殊情况。