命题V.5

如果一个量值是另一个量值的倍量，另一个量减去的部分是第一个量减去的部分的倍量，其倍数相等。则余下的量值仍然是相同的倍数，其总量值也是相同的倍数。

设：量值AB是量值CD的相同倍数，减去的部分AE是减去的部分CF的相同倍数。

求证：余下的部分EB也是余下的部分FD的相同倍数，总和AB也是总和CD的倍数。

令：作CG，以使EB是CG的倍数，AE是CF的倍数。

那么因为AE是CF的相同倍数，EB是GC的相同倍数。

所以：AE是CF的相同倍数，AB是GF的相同倍数（命题V.1）。

假定：AE是CF的相同倍数，AB是CD的相同倍数。

于是：AB是量值GF和CD的相同倍数，所以：GF等于CD。

从每个中减去CF，于是：余下的GC等于余下的FD。

又因为：AE是CF的相同倍数，EB是GC的相同倍数，GC等于DF。

所以：AE是CF的相同倍数，EB是FD的相同倍数。

假设：AE是CF的相同倍数，AB是CD的相同倍数。

于是：余下的EB是余下的FD的相同倍数，AB是CD的相同倍数。

所以：如果一个量值是另一个量值的倍量，另一个量减去的部分是第一个量减去的部分的倍量，其倍数相等。则余下的量值仍然是相同的倍数，其总量值也是相同的倍数。

证完

注解

这一命题类似于命题V.1，它陈述量相减的分布数的乘法，m（x-y）＝mx-my。

注意，在这一命题中，所有量必须是同一类。

证明的开头部分就涉及部分量，作CG，使EB是CG的相同倍数，AE是CF的相同倍数。于是，便有如下例子，AE是CF的三分之一，CG是EB的三分之一，而这一结构并不适合所有类型的量，特别是在角与弓形中。

这一命题在《几何原本》的其他地方再未被利用。