命题I.3

给定两条不等线段，可以在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段。

设：AB和c是给定的两条不等线段，AB较长。

现在要求：从较长线段AB上切取一条线段等于较短线段c。

在点A上取AD等于c，又，以A为圆心、AD为半径作圆DΕF（公设I.3）。

因为点A是圆DΕF的圆心，所以：AΕ＝AD（定义I.15）。

又，c也等于AD，所以：线段AΕ和c都等于AD。所以：AΕ也等于c（公理I.1）。

所以：给定两条不等线段AB和c，从较长线段AB上作出了AΕ等于短线段c。

证完

注解

很显然，命题I.2在本命题中发挥了作用，根据普鲁库鲁斯（410—485年）的记载，《几何原本》首先由希波克拉底写成，另外，里昂和赛奥底留斯也著过不同的版本，但欧几里得的版本出现以后，它们就消隐失传了，后者取而代之。命题I.2可能出现在希波克拉底时代。这一命题开始了线的几何代数，允许相减、相加计算，用以比较线段的大于、小于或等于性质。

这一命题在《原本》中被大量使用，比其他命题都多。从本卷命题5开始以后，在卷4、6、11、13中均有大量利用。