命题I.24

两个三角形有两条对应边相等，其中一个三角形的对应的夹角大于另一个三角形的夹角，那么，这个三角形的第三边也大于另一个的第三边。

设：ABC、DΕF为两个三角形，其中AB、AC分别等于对应边DΕ、DF，则AB等于DΕ，AC等于DF。令∠A大于∠D。

求证：BC也大于ΕF。

因为：∠BAC大于∠ΕDF，在DΕ线段的D点上作∠ΕDG，使之等于∠BAC（命题I.23）。

令：DG既等于AC又等于DF，连接ΕG、FG。

那么：AB等于DΕ，AC等于DG，BA、AC分别等于对应边ΕD、DG；∠BAC等于∠ΕDG。所以：BC等于ΕG（命题I.4）。

又，因为DF等于DG，∠DGF也就等于∠DFG（命题I.5）。所以：∠DFG大于∠ΕGF。

所以：∠ΕFG大于∠ΕGF。

因为：ΕFG是个包含有∠ΕFG的三角形，且∠ΕFG大于∠ΕGF。较大的角所对应的边也较大（命题I.19），所以：边ΕG就大于ΕF。又：ΕG等于BC。

所以：BC也大于ΕF。

所以：两个三角形有两条对应边相等，其中一个三角形的对应的夹角大于另一个三角形的夹角，那么，这个三角形的第三边也大于另一个的第三边。

证完

注解

本命题应用在下一命题中，同时也应用在卷3的少数命题以及命题XI.22中。