命题I.46

给出一条线段，可以作一个正方形。

设：AB为给定的线段。

现在要求的是：在AB上作一个正方形。

过点A作AC垂直于AB，使AD等于AB，再过点D作DΕ平行于AB，过点B作BΕ平行于AD（命题I.11、I.3、I.31）。

于是：ADΕB是平行四边形。

所以：AB等于DΕ，AD等于BΕ（命题I.34）。

又，AB等于AD，所以：四条线段BA、AD、DΕ、ΕB相互相等。所以：平行四边形ADΕB是等边的。

求证：它也是直角形。

因为线段AD与平行线AB和DΕ相交，所以：∠BAD与∠ADΕ之和等于两个直角（命题I.29）。

又，∠BAD是直角，所以：∠ADΕ也是直角。

又，在平行四边形中，对边和对角相互相等，所以：对角∠ABΕ和∠BΕD也是直角。所以：ADΕB是直角图形（命题I.34）。

又，它也被证明是等边的。

所以：给出一条线段，可以作一个正方形。

证完

注解

本命题是第二个关于正多边形的，第一个是命题I.1的正三角形。正五、六和十五边形出现在卷4中。

本命题应用在下一命题中，在卷2、6、12、13中都有大量应用。