命题III.2

如果在圆周上任取两点，连接这两点的线段一定位于该圆内。

设：ABC为给定的圆，圆周上的任意两点为A和B。

求证：连接AB，这条线段一定位于该圆内。

假定不是如此，而是落在圆外如AEB，确定圆ABC的圆心D，连接DA、DB，连接DFE（命题III.1）。

那么因为DA等于DB，∠DAE也就等于∠DBE（定义I.15、I.5）；

又因为延长三角形DAE的一边AEB，所以：∠DEB就大于∠DAE（命题I.16）。但是，∠DAE等于∠DBE，所以：∠DEB大于∠DBE，且大角对大边。

从而，DB大于DE，但DB等于DF，所以DF大于DE。小的大于大的，这是不可能的。

所以：AB的连线不在圆外。

同样可以证明它也不在圆周上。

所以：AB线只能在圆内。

所以：如果在圆周上任取两点，连接这两点的线段一定位于该圆内。

证完

注解

这一命题的图形相当奇怪，但又是必要的。因为这一命题涉及一种假设的情形，要证明这种假设情形是不可能的。在这一图形中，AEB被假设为是圆外的一条直线。在本卷的其他几个命题中，也有类似的不可能图形出现。

欧几里得留下AB不能位于圆周上的情况给读者自己去证明，其实证明它并不难。

这一命题应用在下一命题中。