- 高等数学(独立院校用)·上册
- 任淑青 王亚玲 王瑞霞
- 2833字
- 2021-04-02 07:34:14
2.1 导数概念
2.1.1 引例
对导数研究的动力是一种源自数学自身的需要,典型的数学问题是求切线的斜率.
很多实际问题与曲线的切线有关.例如有关运动的方向问题,有关光线的入射角和反射角问题等.在平面解析几何中,圆的切线定义为“与圆只有一个交点的直线”(见图2-1),对于一般的平面曲线来说,这个定义并不适用.例如,过P点的直线L是曲线C上的切线,但不符合上面的定义(见图2-2).
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图2-1
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图2-2
1.直角坐标系下曲线切线的斜率
设曲线C是函数y=f(x)的图像(见图2-3),P是曲线C上任一定点,在C上任取一异于P的点Q(x0+Δx,f(x0+Δx)).Q是随着Δx的变化而改变位置的C上的动点,则过这两点的直线是曲线C的割线,记为PQ.若Δx→0,即点Q(x0+Δx,f(x0+Δx))沿着曲线C趋向于定点P(x0,f(x0))时,割线PQ有极限位置PT(仍是一条直线).则称直线PT是函数曲线C在点P(x0,f(x0))的切线.由直线的点斜式方程可写出切线PT的表达式
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图2-3
y=k(x-x0)+f(x0).
现在要关心的是“怎样计算切线PT表达式中的斜率k”.由切线定义可看出,斜率k自然是割线PQ的斜率当Δx→0时的极限.因为割线PQ的斜率
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所以,若Δx→0时,kPQ有极限,则定义此极限为点P处切线的斜率,即
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2.变速直线运动的瞬时速度
设有一质点作变速直线运动,已知它的运动方程是s=f(t),则在时刻t0到时刻t0+Δt这个时间段Δt的平均速度是
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不论|Δt|取得多么小(当然Δt不能取0值!),由上式得到的都是平均速度.那么,怎样得到运动质点在时刻t0的瞬时速度v(t0)呢?这就要使用极限方法.若当Δt→0时平均速度有极限,则称此极限为f(t)在t0时刻的瞬时速度,即
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2.1.2 导数的定义
比较式(2.1)与式(2.2)的右端,二者显然是具有同样结构形式的极限.一般地说,设有函数y=f(x),x0是一个定点,则比式是函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的平均变化率.若极限
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存在,则称此极限为函数y=f(x)在点x0的变化率.
抛开其实际意义,将这种结构形式的极限抽象出来,就得到数学上导数的定义.
1.导数的定义
定义2.1 设函数y=f(x)在点x0处的某邻域内有定义,x0+Δx仍属于该邻域.若极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称该极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f′(x0).即
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也可以记作
若式(2.4)的极限不存在,则称函数y=f(x)在点x0处不可导.特别地,若式(2.4)的极限为无穷大,则称函数y=f(x)在点x0处导数为无穷大.
若令x=x0+Δx,则定义式可写为
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令Δx=h,则定义式也可写为
特别地,当x0=0时,
由导数定义可知,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率就是函数y=f(x)在点x0处的导数,即k=f′(x0);质点作变速直线运动的瞬时速度,就是路程函数s=f(t)在时刻t0对时间t的导数,即v(t0)=f′(t0).
如果函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点x都可导,则称函数f(x)在区间(a,b)内可导,这时函数f(x)在开区间(a,b)内任一点x都有导数值f′(x),这显然就构成了一个定义在开区间(a,b)内的函数,称其为f(x)的导函数,简称导数.记为f′(x),y′,或
,即有
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【例1】 求函数y=x3在x=1处的导数f′(1).
解 当x由1变到1+Δx时,函数相应的增量为
Δy=(1+Δx)3-13=3·Δx+3·(Δx)2+(Δx)3,
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【例2】 求函数f(x)=ax+b在点x的导数.
解 当x由x变到x+Δx时,函数相应的增量为
Δy=f(x+Δx)-f(x)=[a(x+Δx)+b]-[ax+b]=a·Δx,
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即 (ax+b)′=a.
由上例知,一次项的系数a即为平面直角坐标系下直线的斜率,这与引例中“导数即为切线的斜率”的结论一致;当a=0时,即为常值函数,即
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【例3】 试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在):
(1) (2)
,其中f(0)=0.
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(2)因为f(0)=0,于是
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【例4】 求函数f(x)=sin x的导数及
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即 (sin x)′=cos x;
完全类似地可证得(cos x)′=sin x.
【例5】 求函数f(x)=xn(n∈N+)在x=a处的导数.
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00054009.jpg?sign=1734477514-mIdurWjs0Tgpn56Cb7mbC0SCs7oDsBwi-0-93067bdd22dabde77b05d8ed4ec99fa2)
即 (xn)′=nxn-1.
更一般地
(xμ)′=μxμ-1(μ∈R).
利用上述公式可容易地求得幂函数的导数,例如:,
【例6】 求函数y=logax(a>0,a≠1)的导数.
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即 ,特殊地,
【例7】 求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数.
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即 (ax)′=axln a,特殊地,(ex)′=ex.
上述例题的结果均可作为公式使用.
2.左、右导数
定义2.2 设函数y=f(x)在点x0及其某个左邻域内有定义,如果极限
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存在,则称这个极限是函数y=f(x)在点x0的左导数,记为 .即
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同理,若极限存在,则称此极限为函数f(x)在点x0处的右导数,记为
.即
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由极限存在定理不难得到下面的结论:
定理2.1 函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是:函数y=f(x)在点x0处的左、右导数均存在且相等.
【例8】 讨论函数f(x)=|x|在x=0处的连续性与可导性.
解 易证函数f(x)=|x|在点x=0处是连续的(见图2-4).下面主要来讨论f(x)=|x|在点x=0处的可导性.
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图2-4
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00056001.jpg?sign=1734477514-oc1zCVmiRC03HB4IrqwSxI3ullsF1sNn-0-0b1e1a4169ae0ce7cbe99fc01f6caf05)
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所以, ,即f(x)=|x|在x=0处不可导.
一般地,若曲线y=f(x)的图形在点x0处出现尖点,则它在该点不可导.因此,如果函数在一个区间内可导,则其图形不出现尖点,或者说是一条连续的光滑曲线.
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,并且在左端点a存在右导数,在右端点存在左导数
,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可导.
【例9】 求函数在x=0处的导数.
解 当Δx<0时,Δy=f(0+Δx)-f(0)=sin Δx-0=sin Δx,故
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当Δx>0时,Δy=f(0+Δx)-f(0)=Δx-0=Δx,故
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00056008.jpg?sign=1734477514-toSAn6Uq6NCTHAzVUklpm6bevHSUx2Oq-0-c13fa7fc67919b2201534cfd3492f28f)
由得
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00056010.jpg?sign=1734477514-4PkufTvxahJPD5oKNyPCF9wwsOHInVpQ-0-4765f96e6f35c2da233b2ca4f6855c75)
【例10】 设函数处处连续、处处可导,求a与b.
解 因为函数f(x)在点x=1处连续,所以即a+b=0.
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00056013.jpg?sign=1734477514-7yTg5nMzAXFwEkEewnjHNNvmxoS95kNk-0-c7b1c9b4f2991b7b5580c4f9163bee83)
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00056014.jpg?sign=1734477514-YnEgOHQg62bNHmdZEWaoGHR54qyslOOw-0-95dde3f20f11873d2093e05ea91788c8)
由可导知
又因为f(1)=ln 1=0,再由a+b=0知b=-1.
2.1.3 导数的几何解释
由引例与导数的定义知函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线的斜率.
根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可以得到曲线y=f(x)在定点M0(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
过切点M0且与该切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M0处的法线,如果f′(x0)≠0,法线的斜率为,从而法线方程为
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00057002.jpg?sign=1734477514-AA2tklmHj7TE3s64zmRHHNve5LecVihR-0-7cf4ef5f32cc7faed8f25dbf35bfee1d)
【例11】 求曲线y=x3在(1,1)上的切线和法线方程.
解 k=y′|x=1=3x2|x=1=3,故所求的切线方程为
y-1=3·(x-1),即y=3x-2;
法线方程为
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2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
定理2.2 如果函数y=f(x)在点x0处可导,则函数在该点处必连续.
事实上设函数y=f(x)在点x0处可导,则存在,从而
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00057005.jpg?sign=1734477514-7XX6hQmWmB3UuczedfpG78sN47viPvZj-0-11113febf2cc345234c889a99120d65f)
而式(2.6)表明函数y=f(x)在点x连续,所以函数可导必有函数连续.
定理的逆命题并不成立,即函数的连续点未必是可导的点.
【例12】 讨论函数在x=0处的可导性与连续性.
解 因为不存在,所以f(x)在x=0处不可导.
因为,所以
.即f(x)在x=0处连续.
例12表明了函数连续是它可导的必要条件,但不是充分条件.由定理2.2的逆否命题知,若函数在某点处不连续,则它在该点处一定不可导.
习题2.1
1.下列各题均假设f′(x0)存在,按导数定义指出此极限表示什么?
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00057010.jpg?sign=1734477514-yw0MAIaoAQqX3jOCMlsNIMfbWQFbEiZQ-0-bb8846f08f1afa43e79b6bb39c09b41e)
![](https://epubservercos.yuewen.com/D12867/17180246204476206/epubprivate/OEBPS/Images/img00058001.jpg?sign=1734477514-a7MJ62xVfi0EvXNRzyttabe1UFnxcQsR-0-68817d682ce534619f7ab71170293d5b)
2.设函数,问a取何值时,f(x)为可导函数.
3.求曲线y=2x-x3上与x轴平行的切线方程.
4.设φ(x)在x=a处连续,f(x)=(x2-a2)φ(x),求f′(a).
5.设,求:
(1),并判断
是否存在
(2)求f′(x).
6.设f(x)=6x3,试用定义求f′(1).