1.3　函数的极限

数列极限是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无穷大时函数值的变化趋势，即对于自变量的变化过程中相应函数值变化趋势的讨论，引出了数列这种函数极限的概念.本节讨论的对象是定义在实数范围内某区间上的函数，即当自变量在其定义域中连续地趋于某个值（有限或无限）时，函数值的变化趋势.由于自变量变化过程不同，函数的极限主要表现为两类不同的形式.

1.3.1　自变量趋于无穷大时函数的极限

所谓自变量趋于无穷大，即自变量x的绝对值无限增大，记为x→∞.

若x→∞时，函数f（x）与常数A无限接近，称A为函数f（x）当x→∞时的极限，记为.例如当x→∞时，函数与0无限接近，即有.仿照数列极限的定义，下面给出x→+∞、x→-∞、x→∞时函数极限的量化的精确定义.

1.x→+∞时的极限

x→+∞读作“x趋于正无穷大”，表示x无限增加，x＞0.

定义1.6　设函数f（x）在（a，+∞）内有定义，A为常数.若∀ε＞0，∃X＞0，当x＞X时，恒有

|f（x）-A|＜ε，

则称常数A为函数f（x）当x→+∞时的极限，记作

几何意义为：对任意给定的ε＞0，总能在x轴上找到一点X，使得函数的图像在X右边的部分全部位于由y=A-ε及y=A+ε构成的平面带形域（图1-9中阴影部分）内.

2.x→-∞时的极限

x→-∞读作“x趋于负无穷大”，表示|x|无限增加，x＜0.

定义1.7　设函数f（x）在（-∞，a）内有定义，A为常数.若∀ε＞0，∃X＞0，当x＜-X时，恒有

|f（x）-A|＜ε，

则称常数A为函数f（x）当x→-∞时的极限，记作

3.x→∞时的极限

x→∞读作“x趋于无穷大”，表示|x|无限增加.

定义1.8　设函数f（x）在（-∞，-a）∪（a，+∞）内有定义，a＞0，A为常数.若∀ε＞0，∃X＞0，当|x|＞X时，恒有

|f（x）-A|＜ε，

则称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限，记作

【例1】　用定义证明：

证明　∀ε＞0，欲使，因为，故只要，即即可.取，当|x|＞X即时，必有，证得

1.3.2　自变量趋于有限值时函数的极限

1.x→x0时的极限

自变量x趋于有限值x0，即x无限接近x0，记为x→x0.注意这里不限制x大于或小于x0，但x不等于x0.

若当x→x0时，对应的函数值f（x）能与常数A无限接近，则称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限，记作，或f（x）→A（x→x0）.

例如，设，函数在x=1无定义.考虑当x趋向于1时，f（x）的变化趋势.观察可知，当x充分接近于1时，f（x）充分接近于4；或当|x-1|充分小时，|f（x）-4|也充分的小.事实上

对0.1，要使|f（x）-4|=2|x-1|＜0.1，即只要|x-1|＜0.05；

对0.01，要使|f（x）-4|=2|x-1|＜0.01，即只要|x-1|＜0.005；

对0.001，要使|f（x）-4|=2|x-1|＜0.001，即只要|x-1|＜0.0005；

……

一般地，对任给ε＞0，要使|f（x）-4|＜ε，只要有，记，即当0＜|x-1|＜δ时，就一定有|f（x）-4|＜ε.

下面给出x→x0时函数极限定量的精确定义.前面已用|f（x）-A|＜ε定量地描述“函数值f（x）与常数A无限接近”，问题是如何定量地描述“当x→x0时”.并非对所有的x都能使不等式“|f（x）-A|＜ε”成立，但只要与x0足够接近即可，即x落在x0的某足够小的去心邻域中.

定义1.9　设函数f（x）在点x0的某去心邻域有定义，A为常数.若对∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，恒有

|f（x）-A|＜ε，

则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记作

几何意义为：对任意给定的ε＞0，总存在一个δ＞0，当x满足0＜|x-x0|＜δ时，函数f（x）的图像落在由y=A-ε及y=A+ε构成的平面带形域（图1-10中阴影部分）内.

【例2】　证明：

证明　∀ε＞0，欲使|（2x+1）-3|=2|x-1|＜ε，只要.取，当0＜|x-1|＜δ时，有|（2x+1）-3|＜ε，所以

【例3】　证明：

证明　∀ε＞0，不妨设|x-2|＜1，欲使|x2-3-1|=|x+2|·|x-2|＜ε，只要|x+2|·|x-2|＜5|x-2|＜ε，即.取，则当0＜|x-2|＜δ时，有|（x2-3）-1|＜ε，所以

【例4】　证明：

证明　因为x→3时，x≠3，所以因此，∀ε＞0，若要|f（x）-6|＜ε，只要|x-3|＜ε，取δ=ε，则当0＜|x-3|＜δ时，就恒有|f（x）-6|＜ε，所以

2.左极限与右极限（单侧极限）

函数f（x）在某x0两侧函数表达式不一致的情形是经常发生的，有时f（x）原来就只定义于x0的某一侧，这就需要刻画自变量从x0的某一侧趋于x0时函数值的变化趋势.

若x从x0的左侧（x＜x0）趋于x0时，有f（x）→A，即对∀ε＞0，∃δ＞0，当x0-δ＜x＜x0时，恒有|f（x）-A|＜ε，则称A为函数f（x）当x→x0时的左极限，记作或

若x从x0的右侧（x＞x0）趋于x0时，有f（x）→A，即对∃ε＞0，∃δ＞0，当x0＜x＜x0+δ时，恒有|f（x）-A|＜ε，则称A为函数f（x）当x→x0时的右极限，记作，或

左、右极限统称为单侧极限.

【例5】　设函数，试求函数在x→0时的左、右极限.

很显然，f（0+0）≠f（0-0）.

【例6】　观察图1-11中的f（x0+0）与f（x0-0）.

结论：在x0处，图（a）和图（b）中的左、右极限均存在，但是不相等，图（c）中的左右极限存在且相等.

定理1.3　f（x）在x0的某邻域有定义，则

由此可知，若函数f（x）在点x0的单侧极限有一个不存在，或都存在但不相等，则极限不存在.例6中的图（a）和图（b）中函数的极限均不存在，而图（c）中的极限存在.

【例7】　讨论函数，当x→1时的极限.

所以f（1-0）≠f（1+0），从而 不存在.

习题1.3

1.求下列极限：

2.用函数极限的定义证明：

3.判别下列极限是否存在，如果存在，求出其值.

4.试问存在吗？如存在，求出极限值；如不存在，说明理由.

5.讨论函数当x→0时的极限.

6.讨论函数当x→0时的极限.