1.1 排列与逆序

为引出n阶行列式的定义，首先介绍有关排列与逆序的概念.

1.1.1 排列

定义1.1.1　由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为（j1j2…jn）. 所有n阶排列的总数是n!个.

例如，由自然数1，2，3组成的一个有序数组（2 1 3）为一个三阶排列，所有的三阶排列有3!个，即（1 2 3），（1 3 2），（2 1 3），（2 3 1），（3 1 2），（3 2 1）.

又如，由1，2，3，4组成的一个有序数组（2 4 3 1）是一个四阶排列，所有的四阶排列有4!个，即24个不同排列.

1.1.2 逆序

定义1.1.2　在一个排列中，任取一对数，如果较大的数排在较小的数之前，就称这对数构成一个逆序，一个排列中包含的逆序总数称为这个排列的逆序数，记为σ（j1j2…jn）（或T（j1j2…jn））.

例如，在三阶排列（2 1 3）中构成逆序的数对有2和1，因此这个三阶排列的逆序数为1，即σ（2 1 3）=1.

又如，四阶排列（2 4 3 1）中构成逆序的数对有2和1，4和3，4和1，3和1，因此σ（2 4 3 1）=4.

一个排列，若各数是按由小到大的自然顺序排列，这种排列称为自然排列. （12…n）称为n阶自然排列. 显然自然排列的逆序数为零.

定义1.1.3　逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列.

例如，自然排列（12…n）的逆序数为0，因此为偶排列，（2 1 3）的逆序数为1，因此为奇排列.

例1　确定五阶排列（4 5 3 2 1）的逆序数，并指出排列的奇偶性.

解　σ（4 5 3 2 1）=3+3+2+1=9，故排列（4 5 3 2 1）为奇排列.

例2　计算σ（n（n-1）…2 1）.

解　σ（n（n-1）…2 1）=（n-1）+（n-2）+…+2+1+0=n（n-1）/2.

1.1.3 对换

定义1.1.4　在一个n阶排列中，任意对换两个元素的位置，其余元素不动，称为该排列的一个对换.

对换对排列的奇偶性是会产生影响的. 如σ（2 4 3 1）=4，（2 4 3 1）是偶排列，现对换2和1的位置，得σ（1 4 3 2）=3，（1 4 3 2）是奇排列. 事实上，我们有如下定理.

定理1.1.1　对换必改变排列的奇偶性.

*证　（1）相邻位置元素的对换（称为邻换）. 设

如果ji和ji+1在原排列中构成一个逆序，则邻换后就构成一个顺序，反之，如果ji和ji+1在原排列中构成一个顺序，则邻换后就构成一个逆序，因此邻换前后两个排列的逆序数差1，而其余元素的逆序数没有发生变化，所以改变了排列的奇偶性.

（2）任意位置元素的对换. 设

该对换可分解成：先作m次邻换，即

再作m+1次邻换，即

该过程共进行了2m+1次邻换，由（1）的结论，两个排列的奇偶性改变了.

证毕.

推论1.1.1　在所有n阶排列（n≥2）中，奇排列和偶排列各占一半.

只要将n!个n阶排列一一列出，对每个排列中的第一个和第二个元素作一个对换，这时我们得到的仍然是原来的n!个n阶排列，然而每个排列的奇偶性都发生了改变. 因此奇偶排列的个数应当是相同的.

*推论1.1.2　任何一个n阶排列都可通过若干次对换变成自然排列，且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同.

因为一个n阶排列可通过若干次对换变成自然排列，并且所作对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而自然排列是偶排列，因此结论成立.