1.4　月球坐标系统

就月球探测器的运动而言，将涉及三类月心坐标系，即月固坐标系、月心赤道球坐标系和月心黄道坐标系。

1.4.1　三个月心坐标系的定义[6]

与地球赤道面在空间的摆动类似，月球赤道面亦有此摆动现象，即物理天平动，它同样引起月心赤道坐标系的各种不同定义，这将涉及环月卫星运动的轨道确定和星下点（即卫星与月心连线在月球表面的交点）位置的确定。

（1）月固坐标系O-XYZ

坐标原点O是月心，而Z轴方向是月球的自转轴方向，XY坐标面即过月心并与自转轴方向垂直的月球赤道面，X轴指向月球上的“格林尼治”子午线方向：基本平面（XY坐标面）与过月面上Sinus Medii子午面的交线方向，即月球赤道面上指向地球惯性主轴的方向。显然，在这种坐标系中，相应的月球引力位亦是确定的。各种月球引力场模型及其参考椭球体也都是在这种坐标系中给定的，它们同样是一个自洽系统。

（2）月心赤道坐标系O-xyz

此类坐标系又有两种定义。

一种定义是历元（J2000.0）月心天球坐标系，该坐标系的原点O同样是月心，但xy坐标面却是历元（J2000.0）时刻的地球平赤道面，x轴方向是该历元的平春分点方向。这一坐标系的选择，在深空探测中便于将地球坐标系与探测目标天体坐标系（这里指的就是月球坐标系）相联系，详见下面第1.5节的内容。

另一种定义与历元（J2000.0）地心天球坐标系类似，该坐标系的xy坐标面就是历元（J2000.0）时刻的月球平赤道面，x轴方向是该赤道面上的平春分点方向，这一方向是由月球绕地运行轨道升交点的平黄经Ωm确定的，见后面给出的图1.4。与处理地球卫星轨道问题类似，这是处理环月探测器轨道问题中必须采用的坐标系，但为了区别上述J2000.0月心天球坐标系，故称其为历元（J2000.0）月心平赤道坐标系，或简称J2000.0月心赤道坐标系。与地心天球坐标系类似，它也是一个在一定意义下（即消除了坐标轴因月球赤道面摆动引起的转动）月心“不变”的坐标系，它可以在同一个坐标系中表达不同时刻的探测器轨道，同样，在该坐标系中，月球非球形引力位也是变化的。

（3）月心黄道坐标系O-x′y′z′

该坐标系的原点O仍是月心，和地心黄道坐标系只是一个平移关系。x′y′坐标面是历元（J2000.0）时刻的黄道面，x′轴方向与上述天球坐标系O-xyz的指向一致，即该历元的平春分点方向。

1.4.2　月球物理天平动

（1）两种物理天平动的表达形式

月球的物理天平动同样是一个复杂的定点转动问题。与地球自转的岁差章动类似，多年来的研究，曾先后给出过多种有关物理天平动的理论，几乎都以物理天平动的经度分量、倾角分量和节点分量（τ，ρ，σ）的分析解来表达，这三个量就将月球的平赤道与真赤道以分析形式相联系。

对于平赤道，根据Cassini定律，月球轨道、黄道与月球平赤道交于一点。由于天平动的原因，月球真赤道将通过（τ，ρ，σ）三个量在空间与平赤道联系起来，见图1.4。图中各量的关系如下：

其中Im，Ωm，Lm分别为月球平黄赤交角、轨道升交点平黄经和月球平黄经。

美国喷气推进实验室（JPL）的数值历表（如DE405）却以另一种形式表达了月球物理天平动，它是直接给出另三个欧拉角（Ω′，is，Λ）每天的具体数值（见图1.5），可用于计算月球卫星在月固坐标系中的精确位置。

上述两种物理天平动的表达形式，可通过图1.5来表明它们之间的关系。图中xb是月固坐标系的X轴指向，即图1.4中的ξ′方向。三个欧拉角（Ω′，is，Λ）在图中已表明清楚，不再加以说明，ε是地球的平黄赤交角。

根据月球自转理论，给出的天平动三个参数（τ，ρ，σ）的分析表达式，类似于地球的章动序列，亦包含几百项，最大的周期项振幅超过100角秒（100″），但没有地球赤道摆动中的长周期项（即周期近26000年的岁差项）。月球自转理论越来越精确，给出的分析表达式与DE405高精度数值历表也越来越接近，相差不到1″。但若精度要求高，分析表达式取项太多，不便应用，而数值历表似乎简洁易用，但它不便于对某些问题的分析。下面将分别作一比较，从而可以表明，在不同问题中可采用不同的表达形式，即分析解（τ，ρ，σ）或数值历表（Ω′，is，Λ）。通过比较证实，在涉及弧段不太长（1～2天或更长些）的情况下，探测器定轨或预报，无论是采用数值法还是分析法，涉及物理天平动问题，均可采用下一小节给出的Eckhardt分析解的前四项简化表达式（1.84）。

（2）两种物理天平动表达形式的比较

下面首先列出两种表达式（τ，ρ，σ）的前几项，作为与数值历表（Ω′，is，Λ）的比对依据。其一是Hayn结果的前三项[11]：

其二是Eckhardt结果的前四项[12]：

（1.84）式中τ包含了自由项214″.170。两式中的I＝1°.542461＝5552″.86即前面（1.81）式中已出现过的月球的平黄赤交角。l，l′，F和D各为月球的平近点角、太阳的平近点角、月球的平升交点角距（即F＝l＋ωm，ωm是月球轨道的近地点幅角），和日月平角距，它们的计算公式如下：

其中角度F和D在前面地球坐标系涉及的计算公式中出现过，见（1.55）和（1.56）式。

下面将采用（τ，ρ，σ）的分析表达式（1.83）和（1.84）与DE405数值历表值（Ω′，is，Λ）通过坐标转换来进行比较。（Ω′，is，Λ）涉及月心天球坐标系O-xeyeze，这里所说的月心天球坐标系中，xeye坐标面即前面定义的J2000.0地球平赤道面，为了区别起见，将该坐标系中的坐标矢量记做，月固坐标系O-XYZ（即图1.3中的O-ξ′η′ζ′）中相应的坐标矢量记做。对这两种坐标系，分别采用上述两种天平动表达形式（数值和分析）建立坐标转换关系，有

其中两个转换关系分别由下两式表达：

（1.89）式的第一行是按图1.5给出的，而第二行是按图1.4给出的，两者实为同一转换关系。上述（1.88）和（1.89）式分别给出的两种转换矩阵之间的差别取决于（τ，ρ，σ）的取项多少，分别计算2003年11月1日0时，2004年6月15日0时和2008年1月1日0时月球表面一点的空间坐标转换到月固坐标系中的位置，结果表明，两种转换之差为千米级，相应转换矩阵元素的最大差别达到10-3。具体采用哪一种转换关系应根据不同问题的具体要求而定。

根据上述比较可知，直接采用分析解的简化表达式，在某些问题中是不能满足精度要求的。但在考虑物理天平动对环月探测器轨道的影响时，在一定精度要求的前提下，则无妨，因为它是通过非球形引力位（最大的J2项仅为10-4的量级）来体现的。定轨或预报中涉及轨道外推弧段为102时（对低轨探测器为1～2天的间隔），要保证10米级甚至米级精度，采用Eckhardt的前四项表达形式（1.84）是可以达到的。

鉴于上述比较结果，加上要建立月球卫星轨道理论，了解轨道变化的规律，或直接反映月球卫星相对月心坐标系的几何状况，又必须采用月心赤道坐标系，而不是月心地球赤道坐标系（即前面定义的J2000.0月心天球坐标系），那么采用（τ，ρ，σ）的分析表达式来建立历元月心平赤道坐标系O-xyz与月固坐标系（对应真赤道）O-ξ′η′ζ′之间的关系，显然是可取的。而若要通过历元月心平赤道坐标系O-xyz与月心天球坐标系O-xeyeze之间的转换关系（即利用高精度的Ω′，is，Λ值）来计算月球卫星在月固坐标系中的精确位置也很简单，有

是通过定轨或预报给出月心平赤道坐标系中月球卫星的位置矢量。这里变换矩阵（N）并不涉及物理天平动的表达形式，转换的精度只取决于月球卫星定轨或预报的精度。

1.4.3　三个月心坐标系之间的转换关系

（1）月固坐标系O-XYZ与月心赤道坐标系O-xyz之间的转换

对于月球卫星的运动，要构造相应的轨道分析解，就不必像对待人造地球卫星那样，为了避免岁差章动的影响，引进混合形式的轨道坐标系[13]～[15]，完全可以在历元月心平赤道坐标系中考虑问题。该坐标系的xy坐标面即采用历元（如J2000.0）平赤道，x轴方向采用相应的平春分点方向，该方向可由月球轨道升交点的平黄经Ωm来确定。在分析法定轨和数值法定轨以及预报中均采用这种统一坐标系，只需要给出相应的由物理天平动引起的坐标系附加摄动即可，而这种附加摄动并不复杂，作者已经具体给出[16]。为此，首先要建立历元月心赤道坐标系与月固坐标系之间的转换关系。

分别记月心赤道坐标系（即历元月心平赤道坐标系）O-xyz和月固坐标系（对应真赤道）O-ξ′η′ζ′中月球卫星的坐标矢量为和，两者之间的转换关系为

其中Rz（-Ωm），Rx（-I），Rz（-σ），Rx（I＋ρ），Rz（-（φ＋τ-σ））是正交矩阵。在建立月球卫星轨道解时，涉及坐标系附加摄动问题，需要给出上述转换关系的具体表达形式。略去推导过程，且仅保留τ，σ，ρ的一阶量，可得

若记（1.84）式为

且取合理近似：

并利用下列近似：

可进一步将矩阵（A）中的元素aij简化如下：

（2）月心天球坐标系与地心天球坐标系之间的转换

由于目前对月球探测器的测控都是由地面测控站来完成的，这就涉及历元地心天球坐标系，同时出现了历元地心天球坐标系、历元月心天球坐标系和历元月心赤道坐标系。它们之间的转换，会涉及月球的地心坐标，这同样可由两种途径获得，一种是高精度的数值历表（如JPL历表），另一种即精度较低的分析历表，或精度稍高一些的半分析历表。

月球在J2000.0地心黄道坐标系中的平均轨道根数为

上式中出现的t和d分别为由标准历元J2000.0起算的世纪数和儒略日，定义在前面已介绍过，不再重复。

由于月球轨道摄动变化较大，最大的周期项振幅可达2×10-2，下面给出考虑了主要周期项、位置精度可达10-3的计算方法。

首先计算月球的地心黄道坐标（λ，β，π），公式如下：

由上述（λ，β，π）计算月球的地心赤道坐标

这是瞬时平赤道坐标系中的位置矢量。相应的历元J2000.0地心平赤道坐标系中的位置矢量需经岁差改正，有

上述各式中出现的t，与前面（1.97）式中出现的t意义相同。