2.1　二体问题的六个积分

作为二体问题，两个天体P0和p均作为质点对待。分别将该二天体的质量记作m0和m，讨论天体p相对天体P0的运动。此时可将绪论中的运动方程（5）改写为下列形式：

该式中是中心天体P0到运动天体p方向的单位矢量。相应的运动坐标系O-XYZ（见图2.1）的原点O在天体P0上（注意：此时P0是质点），但基本平面（XY坐标面）可有多种选择。根据轨道力学问题的具体特点，对于人造地球卫星的运动问题，XY平面与地球赤道面一致，对月球卫星、火星卫星等亦有类似处理，而处理太阳系中大行星和小行星的运动问题，往往取日心黄道面作为XY平面。至于X轴方向的确定，对于太阳系而言，无论是讨论行星运动，还是各大天体（包括月球）的人造卫星的运动，几乎都是取春分点方向作为X轴方向。另外，有关赤道面、黄道面以及春分点方向的变化，对基本平面（XY坐标面）和基本方向（X轴方向）的选取有何影响，这里不再一一细谈，读者可在后面各有关章节的阐述中获知，本章参考文献[6]中的第1章和第6章也有专门讨论。

为了简便，常记

方程（2.2）对应的是一有心力问题，不仅是可积的（这里的可积是指上述微分方程的解可以写成求积形式），而且容易给出六个独立积分的完整表达式。

关于上述二体问题对应的常微分方程（2.1）的完全解，通常是指如下形式：

但很难直接获得该结果，可通过寻找六个独立积分来达到获取完全解的目的，而且通过这六个独立积分可以更清楚地了解二体问题具有的运动规律，下面具体介绍。

2.1.1　动量矩积分（或称面积积分）

据有心力的性质，可直接写出方程（2.1）的动量矩积分，若记为面积速度矢量，则动量矩积分的具体形式如下：

这表明为一常矢量，天体p相对P0的运动为一平面运动。其中为面积速度常数，单位矢量即表示面积速度方向，它是天体运动平面的法向单位矢量。

常用天体运动轨道来描述动量矩积分的几何意义，引用辅助天球（见图2.2），图中大圆AA′和BB′分别表示基本平面（XY坐标面）和运动天体轨道在辅助天球上的投影，方向即轨道面法向，i就是轨道面与基本平面的夹角，Ω即轨道升交点方向N（或称节点，并特指运动天体由南半球向北半球运行的那个交点）的经度（对地球卫星就是赤经），从X方向起量。利用球面三角形的余弦公式（或用坐标旋转的方法），即可导出法向单位矢量在坐标系O-XYZ中的表达式如下：

动量矩积分（2.3）包含了h，i，Ω三个积分常数，h是面积速度的两倍，i，Ω则确定了轨道平面的空间方向。关于积分常数h，在具体应用中采用的往往是另一表达形式，这与下面给出的轨道积分有相应的联系。

2.1.2　运动平面内的轨道积分和活力公式

既然是平面运动，而相应的平面已由（i，Ω）确定，那么，接着就可在这一确定的平面内讨论降阶后的方程。引入平面极坐标（r，θ），运动方程（2.1）的径向分量为

而横向分量为

此方程给出一个积分：

由空间极坐标（三个轴方向的单位矢量分别记作即前面的）中和的表达式

立即可得

这表明积分（2.7）就是动量矩积分（2.3）的标量形式，或称面积积分。方程（2.5）和（2.7）构成了平面运动系统对应的三阶常微分方程，需要再寻找三个独立积分。

上述方程组的特点是不显含自变量t，由常微分方程的基本知识可知，对于这类方程，通过分离自变量t的方法可使它降一阶，即能够首先讨论r对θ的变化规律。为此，记r′＝dr/dθ，r″＝d2r/dθ2，由方程（2.7）得

将这一关系代入方程（2.5），即可给出r对θ的二阶方程。但相应的方程仍不便于求解，如果在降阶的同时，再作变量变换：

有。利用这一关系即可得到u对θ的一个二阶常系数线性方程：

这显然是可积的，由此即可给出一轨道积分：

e和ω即两个新积分常数。这是一圆锥曲线，在一定条件下它表示椭圆，中心天体（即O点）在其一个焦点上，考虑到本书的内容，主要涉及椭圆运动的情况，至于抛物线和双曲线轨道，将在本章最后一节作一简单介绍。对于椭圆，可令

那么积分（2.7）和（2.13）又可写成

积分常数h由a代替，这里p是椭圆的半通径，a是半长径，e是偏心率，ω则称为运动天体过近星点P的幅角，因在P点方向θ＝ω时，r达到最小值，故称P点方向为近星点方向。注意，近星点幅角ω和极坐标变量θ都是从节点N方向起量的，这在二体问题中无区别，当有摄动时，椭圆随时间变化，升交点方向也在变化，ω应从该变化的升交点方向起量，而极坐标变量θ却仍应从一个定义的不变方向起量，两者是有区别的。

将r＝r（θ）的关系代入方程（2.15），原则上可以给出最后一个与时间t有关的积分，这留待下一小节介绍，这里给出椭圆运动的几个常用关系。由（2.15）和（2.16）两式，经简单的运算可得

此即活力公式。另外，既然是椭圆运动，那么运动天体的向径在一个周期T内扫过的面积就是椭圆的面积，由此可知两倍的面积速度h为

整理后可给出如下关系式：

若引进平运动角速度n＝2π/T，则上式又可写成

这两个表达式就是万有引力定律导出的开普勒（Kepler）第三定律。

这里要说明一点：上述活力公式（2.17），与动量矩积分（2.3）式的获得类似，也可直接由运动方程（2.1）式两端点乘获得，即

由此立即可给出一积分如下：

此即活力积分，实际上就是N（N≥2）体问题10个经典积分中的能量积分在上述二体相对运动中的表现形式。但从二体问题求解的角度寻找六个独立积分的过程来看，上述处理直至轨道积分（2.13）式共五个独立积分的给出，是为了进一步寻找10个经典积分以外的另两个独立积分，其中之一即轨道积分，尽管它对应二阶方程，它与活力积分一共只有两个是独立的，故称（2.17）式为活力公式为宜。剩下一个独立积分必与自变量t（即轨道运动的反映）有关。

2.1.3　第六个运动积分——开普勒方程

为了运算方便，在寻找第六个积分时，不直接引用方程（2.15）式按dθ/dt求解，而是利用（2.17）式按dr/dt积分，有

通过（2.20）式消去μ整理后得

对于椭圆轨道，r的极大和极小值分别为

因此有，故可按下式引入辅助量E：

a-r＝aecosE

或写成

代入（2.21）式可得

ndt＝（1-ecosE）dE

由此便可给出第六个积分：

这又称为开普勒方程，τ是积分常数。当t＝τ时，E＝0，相应的r＝a（1-e）＝rmin，故τ就是运动天体过近星点的时刻。

最后引进两个角度f和M，定义如下：

f，M和E是三个角度量，分别称为真近点角、平近点角和偏近点角，都是从近星点开始计量的，E的几何意义见图2.3，图中O是椭圆焦点（也是坐标系原点），O′是辅助圆的圆心。显然，在二体问题中，面积积分（2.7）可简化为下列形式：

上述六个独立积分常数实为描述天体运动轨道的一组独立参数，通常称为轨道根数，只要初始条件给定，它们就完全被确定。根数a，e是确定轨道大小和形状的参数；i，Ω和ω是轨道平面和拱线（长半轴）的空间定向参数；而第六个根数τ通常被三种近点角所代替，特别是平近点角M常被引用，三种近点角本身同时包含时间t，即随t而变化，而不是常数，故也被称作时间根数。特别要强调一点：上述六个轨道根数a，e，i，Ω，ω，M（f，E），也常被称作开普勒根数，这一称呼联系到天体力学发展的历史。