2.3　椭圆运动的展开式

在很多问题中，需要将有关量通过平近点角M表示成时间t的显函数，但由Kepler方程可知，这将涉及超越函数关系，无法直接达到上述要求。因此，必须将等量展开成M的三角级数，而在这些展开式中又要用到两个特殊函数：第一类贝塞耳（Bessel）函数和超几何函数（或称超几何级数），为了读者引用方便，首先简单地介绍一下这两个函数的有关知识，详细内容请翻阅特殊函数一类书籍。

第一类贝塞耳函数Jn（x）是二阶线性常微分方程

的一个解，它由下列级数表达：

其中n为整数（n＝0，1，2，…），x为任意实数，而k!由下式定义

Jn（x）又是展开式的函数，即

其中e是自然对数的底，而z可以是复变量。由此可给出Jn（x）的积分表达式，即

根据Jn（x）的定义不难得出下列一些重要性质：

超几何函数F（a，b，c；x）是如下二阶线性常微分方程

的一个解，其中a，b，c是常数，解的形式如下：

2.3.1　sinkE和coskE的展开式

这里直接列出展开结果，它们在本章参考文献[1]～[2]中有详细的推导。对k＞1有

对k＝1有

2.3.2　和的展开式

由

可给出

2.3.3　sinf和cosf的展开式

利用偏导数关系式（2.61）可得

由此给出

由轨道方程（2.16）给出

2.3.4　f的展开式

利用sinf和cosf的展开式，取到e4项有

2.3.5　和的展开式

这里n和m均为任意整数（包括零）。若仅用上述基本展开式，要给出这两个函数对M的三角级数（特别是一般表达式），那是相当困难的，下面就对这两个函数直接进行傅立叶（Fourier）展开。函数F（f）展成傅立叶级数的基本形式为

是偶函数，bp＝0，且

对于被积函数的第二部分，可令p＝-p，对应p＝-1，-2，…，-∞，由此给出

其中

是奇函数，ap＝0，bp的计算公式为

对被积函数第二部分的处理同上，结果为

由于上述两个函数的展开式系数相同，可用指数形式将它们表达成统一形式，即

其中是虚数单位。因

（2.99）式中的就是由（2.96）式表达的，称为汉森（Hansen）系数，它是偏心率e的函数，无法用初等函数来表达它的具体形式，只能引用贝塞耳函数和超几何函数，详细推导见本章参考文献[7]，这里直接列出展开结果。

由（2.96）式即可给出

又根据可知

由上述展开式可以看出，要具体给出和的展开式，是较麻烦的。为此，针对实际应用状况，作者给出了精确到O（e4）的表达式[8]，形式如下：

以上各展开式的系数都是关于偏心率e的无穷级数，只有当e＜e1＝0.6627…时才收敛，e1就称为拉普拉斯（Laplace）极限。

除上述展开式外，有些问题还需要其他类型的展开式，下面给出。

2.3.6　对f的展开式

其中p为正、负整数，β的意义同前，见（2.101）式，Tn（p，q）由超几何函数定义[2]，即

当p＝-1，-2时，有

由上述一般表达式可给出如下两个具体展开式：

利用这两个展开式，由

积分即给出