3.2 摄动运动方程的几种常用形式

3.2.1 摄动加速度(S,T,W)和(U,N,W)型表达的摄动运动方程

在有些情况下,摄动力并非保守力,即便是保守力,亦可采用摄动加速度分量的形式来建立相应的摄动运动方程。通常是将(3.1)式中的摄动加速度分解成径向、横向和轨道面法向三分量,依次记为S,T,W;或分解成切向、主法向和次法向(即轨道面法向)三分量,分别记为U,N,W。(S,T)与(U,N)之间的转换关系如下:

因此,容易由(S,T,W)型方程转换成(U,N,W)型方程。

直接由摄动加速度构造的形式统称为高斯(Gauss)型摄动运动方程,下面列出相应的具体表达形式。

(1)(S,T,W)型摄动运动方程

其中u=f+ω,p=a(1-e2),fE分别为真近点角和偏近点角。

(2)(U,N,W)型摄动运动方程

其中与(3.14)式中的表达相同。

关于S,T,W三分量如何给出,这要根据具体摄动源的状况而定。如果不易直接给出,那么当摄动力是保守力,并已知摄动函数R的形式,则可由下列关系式给出S,T,W

的直角坐标分量容易给出,则可由下列转换关系导出S,T,W

转换矩阵(ZH)由三次旋转构成:(ZH)=Rz(u)Rx(i)Rz(Ω),其具体形式为

于是,由到(S,T,W)的转换公式即可写成

其中分别为径向、横向和轨道面法向单位矢量,有

这里的与第2章中的方向不同(见(2.39)和(2.40)式),其表达式为

3.2.2 摄动函数表达的型摄动运动方程

如果摄动力是保守力,则相应的摄动加速度可由下式表达:

这里的R即摄动函数,一般有,其形式由具体的摄动源所确定。

关于型的摄动运动方程,容易由S,T,W型摄动运动方程转换而得。略去这一转换过程,直接列出其具体形式如下:

对存在R的情况,原是直接利用常数变易原理导出,称为拉格朗日(Lagrange)型摄动运动方程。由于直接推导很麻烦,从实用角度来看,无需再去了解这一具体推导过程。

摄动运动方程(3.25)式有一明显特点:在前三个方程的右端项中,只涉及Ω,ω,M),而在后三个方程的右端项中却只涉及a,e,i),具有一种“对称性”,这也是三个角变量Ω,ω,M与三个角动量a,e,i之间的差别,特别是角变量中的快变量M,其变化的快慢主要由运动天体的平运动角速度所确定。

3.2.3 摄动运动方程的正则形式

对于Hamilton系统,采用分析力学方法建立相应的摄动运动方程是很容易的,当采用正则共轭变量,如德洛纳(Delaunay)变量L,G,H,l,g,h时,相应的摄动运动方程的形式极其简单,有一种共轭对称性,即

其中F为Hamilton函数,与常用的Hamilton函数K(区别于变量H)相差一负号,即

因此,方程(3.26)亦与常用形式相差一负号。这里的L,G,H为矩(角动量),相当于广义动量p,而l,g,h为角变量,相当于广义坐标q。它们与椭圆轨道根数之间的关系如下:

由此不难看出,容易由方程(3.26)利用关系(3.28)导出前面的以轨道根数作为基本变量的拉格朗日型摄动运动方程(3.25)。从这一联系来看,尽管Hamilton力学主要用于相关的理论研究领域,但为了解决实际应用问题,了解上述基本原理以及与常用变量之间的关系还是有必要的。

3.2.4 摄动运动方程的奇点与处理方法

从摄动运动方程(3.14),(3.15)或(3.25)式可以看出,的右端含有因子,而的右端含有,因此,e=0和sini=0(即i=0或180°)是摄动运动方程的奇点。它将在下面一章的摄动解中反映出来,当e≈0,i≈0或180°时,解就将失效,但是,相应的运动仍然是正常的,例如近圆轨道显然是存在的。这一小e、小i问题的产生,是由于相应基本变量的选择不当引起的。因为当e=0时,ω不确定,与之有关的M也随之不确定;而当i=0或180°时,Ω不确定,与之有关的ω亦随之不确定。这种选择不当,在上述方程中必然要反映出来,只要改变相应变量的选择,即可消除上述奇点。

(1)适用于任意偏心率(0≤e<1)的摄动运动方程

引进下述变量

e=0而言是一组无奇点变量,显然,当e=0时,ξ,η,λ均是有意义的。

按定义(3.29)和下列关系

即可导出以新变量表达的无奇点摄动运动方程,其形式如下:

1)

2)S,T,W

其中di/dtdΩ/dt同(3.14)中的形式。

上述变换过程中用到

在新方程中已不再出现因子1/e,即

关于ξ,η的选择,在原1998年南京大学出版社出版的《天体力学方法》教材[4]和相关的文章中曾采用过下列形式:

多年前在作者的相关工作和文字材料中已改为上述(3.29)式的形式,并已在相关工作中正式采用。读者如果仍要按原选择引用相应的计算公式,只要把本书的η全部改作(-η)即可。

(2)适用于任意偏心率(0≤e<1)和倾角(0≤i<180°)的摄动运动方程

下述变量

i=0而言是一组无奇点变量,显然,当i=0时,是有意义的。一般不会出现i=180°情况,而同时出现e=0和i=0的情况是有的,为此引进下述无奇点变量:

其中

相应地有

针对实际应用情况,下面列出S,T,W型的无奇点摄动运动方程:

上述各方程的右端,一些中间量n,e2p,sin2i,…的计算公式如下:

右函数中的摄动加速度S,T,W三个分量可由摄动加速度构成,转换如下:

其中单位矢量由下式表达:

相应地有

(3)无奇点正则共轭变量

只要变量选择不当,小e和小i问题在正则运动方程中同样要出现,下面列出一组无奇点正则共轭变量,即消除奇点e=0的正则共轭变量

其中

这组无奇点变量与前面由(3.29)式定义的那一组相对应。(3.61)式和(3.62)式中出现的L,G,H,l,g,h即原德洛纳变量。

这里不再列出由上述无奇点正则共轭变量表达的摄动运动方程,因为在求解摄动运动方程时,若采用正则共轭变量,其解法主要是变换方法,通常是在一些理论研究问题中引用,读者如有需要,可参阅本章参考文献[3][6]中的有关内容。