4　深空探测器运动涉及的受摄限制性三体问题

4.1　圆型和椭圆型限制性三体问题[9]～[12]

一个N＝（2＋1）的三体系统中，有两个大天体和一个小天体。由于小天体对两个大天体的运动没有影响，因此两个大天体的运动即对应一个简单的二体问题，其相对运动（或相对该两个大天体质心的运动）的解是一圆锥曲线。既然讨论构成一个系统的问题，当然排除抛物线和双曲线的情况，即只有圆运动和椭圆运动，分别对应圆型和椭圆型限制性三体问题。对这样一类限制性三体问题，就是在两个大天体运动确定的条件下，研究第三个天体（小天体）的运动。

日—地—月三体系统，相应的三体质量分别记作m1，m2和m，由于月球质量（m）相对日、地质量（m1，m2）均较小，大约有m＝0.012m2，又地球绕日运动的椭圆轨道偏心率约为0.017，故作为一种近似，可将该系统中月球的运动处理成圆型限制性三体问题，如果处理成椭圆型限制性三体问题就更接近真实情况。又如主带小行星（主带即处于火星与木星轨道之间的小行星带，这是太阳系小行星最集中的空间）的运动，主要受太阳和木星的引力作用，木星的轨道偏心率亦较小，因此也常把主带小行星的运动处理成圆型限制性三体问题。

深空探测器的发射，如月球探测器，发射的初始阶段是在近地空间轨道上运动，就相当于一个地球卫星，到达月球附近变为绕月飞行的月球卫星，其运动规律类似于地球卫星，而在地月间的飞行段（如果是地月系探测器，则主要是在地月空间的运行段）则对应一个地—月—探测器三体系统的典型的圆型或椭圆型限制性三体问题。又如火星探测器，从地球上发射的初始阶段是在近地空间轨道上运动，亦相当于一个地球卫星；飞出地—月系后还未靠近火星引力范围前，是一很长的受太阳引力制约的巡航段，对应一个以太阳作为中心天体的受摄二体问题；到达火星引力范围附近就变为日—火—探测器三体系统的典型的圆型或椭圆型限制性三体问题。太阳系中还不乏类似的实例。

对于上述模型，即使最简单的圆型限制性三体问题，就求解而言，至今亦未解决。只有当两个大天体的相对运动速度与小天体的运动速度相比甚小时，可以近似地将两个大天体看作“静止”的，对于这样一种状态，被称为限制性三体问题中的两个不动中心问题，这种类型是可积的，相应的解也已全部给出，但这种简单的力学模型无助于太阳系动力学和深空探测器轨道力学问题的解决。

4.2　限制性N体问题和受摄限制性三体问题模型[13]，[14]

这里N≥3，即该系统中有n个大天体和一个小天体，例如上面提到的主带小行星的运动。为了更真实地体现这类小行星的运动及其空间分布的特征（Kirkwood空隙），在考虑主要受力因素（太阳和木星的引力作用）外，进一步考虑土星和火星的引力作用，就在形式上构成一个限制性五体（4＋1）问题。月球探测器除受地、月的引力作用外，还有太阳引力的显著影响，它就对应一个形式上的限制性四体（3＋1）问题。在上述系统中，不管大天体有多少（即N的数值不同），无论是主带小行星的运动，还是月球探测器的运动，都是在相应大天体的运动确定情况下来研究小天体的运动。但是，在上述提到的两个动力学实例中，如果第三、第四个大天体的引力作用不足以明显改变原限制性三体问题模型的结果，那么即可将其作为原限制性三体问题模型的一些小扰动，这就相当于引进一个受摄限制性三体问题模型。事实上，对于上述两个实例，在研究过程中（不管是主带小行星的运动，还是月球探测器的运动）往往就是这样处理的，在当今对深空探测器的发射轨道和某些特殊目标轨道（如晕轨道）的设计中，同样是这样处理的，也就是充分利用限制性三体问题模型所能提供的重要信息。而若形式上采用限制性四体或五体问题模型，相应的三个或四个大天体的运动问题本身就未解决，这类看似更精确或吸引人的模型，却无助于对限制性问题的解决，至少目前如此。因此，在现实的太阳系中，处理大小天体和人造天体的轨道运动问题时，除上述受摄二体问题模型外，就是受摄限制性三体问题模型，特别是受摄圆型限制性三体问题模型。

4.3　限制性（n＋k）体问题[15]，[16]

这是一个N＝n＋k体系统，其中包含n个大天体和k个小天体，但特指n≥2和k≥2的系统，若k＝1则退化为上一节归纳的两种系统之一。在这一N＝n＋k系统中有n个大天体和k个小天体，因此它实际上等价于两个问题，即一个一般n体问题和一个在n个大天体（运动状态已知）引力作用下的k个小天体的运动问题。尽管k个小天体的质量相对大天体而言很小，它们不会影响大天体的运动，但在某些系统中，k个小天体之间的距离却很近，相互之间的引力作用需要考虑，否则就变为k个限制性（n＋1）体问题。

关于限制性（n＋k）体问题，在太阳系中也有相应的力学背景。例如，主带小行星群中两颗小行星之间的距离可以很近，需要考虑它们之间的引力作用，那么太阳、木星和这两颗小行星就构成一个限制性（2＋2）体问题；在地球赤道上空一个定点处发射两颗以上几吨重的地球“静止”卫星，相互之间的距离若为百米量级，在精度要求较高的问题中就需要考虑它们之间的相互引力作用，在此情况下，作为椭球体的地球（相当于一个质量密度均匀的球体和椭球体赤道的“多余”部分，视为两个大天体）和两个卫星同样构成一个限制性（2＋2）体问题。在深空探测器的发射中或许也会出现这样的状态，如在某个特殊位置附近定点多个探测器，相互之间的引力作用又不可忽视，在此情况下与两个相应的大天体就构成上述限制性（2＋k）体问题。

4.4　广义限制性三体问题

在牛顿引力作用下的限制性三体问题中，如果一个大天体有较强的辐射，还需要考虑该大天体的引力后牛顿效应（即对牛顿引力理论的修正），那么不妨称其为广义的限制性三体问题。在这种情况下，如果第二个大天体的运动不受上述因素影响（严格地说是影响小到可以忽略），那么问题就归结为研究小天体在运动过程中增加一种非引力和非牛顿引力影响，本书将不涉及这类问题。