III

第一个问题呈现出来。这种演变终结了吗？我们最终达到绝对的严格性了吗？在每一个演变阶段，我们的祖先也曾认为，他们已经达到了严格性。如果他们欺骗了他们本人，难道我们没有同样欺骗我们自己吗？

我们自信，我们在推理中不再诉诸直觉；哲学家告诉我们，这是假象。纯逻辑永远也不能使我们得到除同义反复之外的任何东西；它不能创造任何新东西；任何科学也不能仅仅从它产生出来。在这一意义上，这些哲学家是对的；要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑之外，还需要其他东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这同一个词后，潜藏多少不同的想法呢？

比较一下这四个公理：（1）等于第三个量的两个量彼此相等；（2）若一定理对数1为真，假定它对n为真，如果我们证明它对n+1为真，则它对所有整数均为真；（3）设在一直线上，C点在A与B之间，D点在A与C之间，则D点将在A与B之间；（4）通过一个定点，仅有一条直线与已知直线平行。

所有这四个公理都归之于直觉，不过第一个阐明了形式逻辑诸法则中的一个法则；第二个是真实的先验综合判断，它是严格的数学归纳法的基础；第三个求助于想象；第四个是伪定义。

直觉不必建立在感觉明白之上；感觉不久便会变得无能为力；例如，我们无法向自己描绘千角形，可是我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。

你们知道彭赛列（Poncelet）借助连续性原理所理解的东西。彭赛列说，对实量为真之理对虚量也应为真；对有实渐近线的双曲线为真之理从而对有虚渐近线的椭圆也应为真。彭赛列是19世纪 ^[2] 最具有直觉精神的人之一；他对直觉是如此之酷爱，如此之夸耀；他把连续性原理视为他的一个最大胆的概念，这个原理还不依赖感觉的明白。更确切地说，把双曲线看做与椭圆类似，是与这种明白相矛盾的。这只是一种早熟的、本能的概括，而且我不想为之辩护。

于是，我们有多种直觉；首先，求助于感觉和想象；其次，通过归纳进行概括，而归纳可以说是摹写实验科学的程序；最后，我们有纯粹数的直觉，我刚才阐述的第二个公理即由此而生，它能够创造真正的数学推理。我在上面已用例子表明，前两个公理不能给我们以必然性；但是，谁当真会怀疑第三个呢？谁会怀疑算术呢？

于是，在今日的解析中，当人们想千方百计地追寻严格性时，除了三段论或诉诸纯粹数的直觉外，则别无它法，唯有这种直觉不会欺骗我们。可以说，绝对严格性今天已被达到。