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我们寻求实在，可是实在是什么呢？生理学家告诉我们，有机体是由细胞形成的；化学家附加道，细胞本身是由原子形成的。这意味着这些原子或这些细胞构成实在，或确切地讲，构成唯一的实在吗？这些细胞排列的方式和导致个体统一的方式不也是比孤立的要素的实在更为有趣的实在吗？除了用显微镜外，从未研究过大象的博物学家能够认为他自己充分地了解这种动物吗？

好了，在数学中也有一些与此类似的东西。可以说，逻辑主义者因之把每一个证明分为许多基本演算；当我们已经相继审查了这些演算，并确认每一个都正确无误的时候，我们必须认为我们已经把握了该证明的真正意义吗？即使当我们博闻强记，正好运用发明者排列这些基本运算的顺序而重演它们，从而能够重复这一证明时，我们可以理解它吗？显然不能；我们还不具有全部实在；我不知道什么东西造成了证明的一致，这将使我们感到十分困惑。

纯粹解析把许多程序提供给我们使用，它保证这些程序是确实可靠的；它向我们开辟了成千条不同的大道，我们可以满怀信心地迈步在这些大道上；我们确信在那里没有障碍；但是，在所有这些道路中，哪一条会最迅速地把我们引向我们的目标呢？谁将告诉我们应该选择哪一条呢？我们需要使我们具有一览遥远目标的本领，直觉就是这样的本领。直觉对于选择他的路线的探索者来说是必要的；对于那些追随他的足迹、欲知他为什么要选择那条路线的人来说，情况也是如此。

假如你正在观棋，要弄懂一盘比赛，仅知道棋子走动的规则是不够的。那只能使你辨认每一步符合这些规则，这种知识的确没有多少价值。如果读数学书的人仅仅是一位逻辑主义者，那么他也会这样做。要弄懂棋赛完全是另一回事；必须了解棋手为什么走这个棋子而不走那个棋子，他本可以在不违反下棋规则的情况下走那一步的。可以察觉出使这一系列相继的步子成为一种有机的整体的内在根据。也就是说，这一本领对于棋手本人更为必要，对发明家来说也是这样。

让我们撇开这种比较而返回到数学上来吧。例如，看看连续函数观念所发生的情况。起初，这仅仅是可感觉的图像，例如用粉笔在黑板上勾画的连续痕迹的图像。然后，它渐渐地变得精细了；不久，它被用来构造复杂的不等式系统，这可以说是摹写了原始图像的全部线条；这座建筑物竣工后，拱架好比说被拆除了，临时作为支架而此后毫无用处的粗糙的表象被抛弃了；保留下来的仅仅是建筑物本身，在逻辑主义者看来，该建筑物是无懈可击的。但是，倘若原始图像从我们的回忆中统统消失，那么所有这些不等式以这种方式相互堆叠，我们究竟是借助什么随想而如何神悟的呢？

也许你认为我使用了过多的比喻；可是，请原谅我再做一个比喻。你无疑见过形成某些海绵骨骼的硅质针状的纤细集合物。当有机物质消失时，留下的只是易脆的美丽的网眼薄纱。的确，除了二氧化硅外别无它物，可是有趣的是这种二氧化硅所具有的形状；如果我们不知道正好使二氧化硅呈现这一形状的活海绵，我们便不能理解它。因而，正是我们祖先的古老的直觉观念，即使当我们已经抛弃了它们，它们的形式还铭刻在我们用来代替它们的逻辑结构上。

对于发明家来说，这种集合物的观点是必不可少的；对于希望实际了解发明家的任何人来说，它同样是不可欠缺的。逻辑能够把它给予我们吗？不能；数学家给它起的名字足以证明这一点。在数学中，逻辑被称为解析，解析意味着分解、分析。因此，除了解剖刀和显微镜外，不会有其他工具。

这样一来，逻辑和直觉各有其必要的作用。二者缺一不可。唯有逻辑能给我们以确定性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具。