2.2.1　稀疏

广义上的信号稀疏是指信号具有如下特性：信号中只有少数元素是非零（或绝对值较大）值，其余元素均为零（或绝对值很小），即如图2-1所示的例子。用数学符号表示就是，给定信号x∈ℝN，其非零元素个数‖x‖₀满足：

‖x‖₀≪N

（2-1）

即使信号在某个观测域（如时域）内不具有稀疏性，但在变换域中依然可能是稀疏的，这样的信号也称为稀疏信号。

因此，给定信号x∈ℝN，可以给出稀疏的两种数学定义：

①对于正交基{ψ_i：i=1，2，…，N}，信号x在基上的投影（即变换系数）为θ_i=〈x，ψ_i〉。若存在实数0<p<2以及R>0，使得l_p范数‖θ‖_p满足：

则称信号在基Ψ上l_p范数稀疏[2]。

②如果信号变换系数θ_i=〈x，ψ_i〉的支撑域（即非零元素构成的集合）{i：θ_i≠0}的元素个数小于等于K，则可以说信号x是K稀疏的[3]。

信号的稀疏通常体现在某一个表征域上，因此常说信号在某表征域上是稀疏的。具有稀疏特性的表征形式称为这个信号的稀疏表示。事实上，绝大多数自然信号均存在稀疏表示。

例如，图2-2所示的是一段双音信号，在波形上看包络有起伏，但绝大多数采样点均不等于零，似乎没有稀疏特性。但观察它的时频谱图可以看出，在绝大多数频率上，信号的功率分布近似为零。因此，可以说该信号在频域上是稀疏的。

上述定义①中使用的l_p范数是描述信号稀疏的一个重要概念，它是欧几里得范数（p=2时的l_p范数）的推广。

图2-3给出了在几个典型的p取值条件下，l_p为常数的三维曲面。在这个曲面上的任意一点x，其坐标（x₁，x₂，x₃）满足‖x‖_p=L（L是常数）。当p=2时，这个曲面就是常见的球面。当p=1时，这个曲面就是八面体。当p取值越来越小时，曲面由“凸”变为“凹”，曲面与坐标轴的交点处各方向上的斜率越来越大。当p=0时，曲面退化为多条与坐标轴重合的线段，此时，这个曲面上的点都至少有两个坐标分量为0，即这些三维坐标点都满足如下的形式：（x₁，0，0）或（0，x₂，0）或（0，0，x₃）。这些点都具有了稀疏特性。

由上述分析可知，当p=0时，l_p范数对应的信号稀疏特性最严格。虽然式（2-2）中p不能为0，l₀范数的严格定义不满足式（2-2）的形式，但由于l_p范数稀疏在数学推导上非常方便，因此很多情况下都直接采用l₀这种广义的信号稀疏定义方式。