第二节 变压器的负载运行

一、运行规律

设N₁和N₂分别为变压器一、二次绕组的匝数，变压器空载运行时，由空载电流产生磁动势，F0建立主磁通在一、二次绕组内感应电动势和，电源电压与反电动势及阻抗压降相平衡，维持空载电流在一次绕组内流过，使变压器中的电磁关系处于平衡状态，各物理量的大小均有一个确定的数量。现在，如果在变压器二次侧加上负载阻抗Z_L，如图2-14所示，则二次绕组中有电流流过，产生磁动势，从电磁关系上说，变压器从空载运行过渡到了负载运行。这时，由于一次侧磁动势和二次侧磁动势都同时作用在同一磁路上，磁动势F₂的出现使主磁通趋于改变，随之，电动势和也跟着变化，从而打破了原来的平衡状态。在一定的电源电压下，的改变使一次绕组中的电流发生变化，从空载时的改变为负载时的。这时一、二次电流和所产生的磁动势和构成变压器铁心中的合成磁动势，而由F_m建立负载时的主磁通（这时的的数值和空载时稍有不同），并由在一、二次绕组中感应电动势和。当电动势和恰好能在一、二次侧产生前述的及时，变压器中的电磁关系就重新达到平衡状态。

下面进一步说明上述物理过程中的能量关系。为便于分析，忽略一次绕组的漏阻抗电压降，认为E₁＝U₁＝常数，随之产生的主磁通也应保持不变。于是，为了保持主磁通不变，从空载到负载时，一次电流应从增加一个分量，以平衡二次侧电流的作用，即一次侧电流增量产生的磁动势恰好与二次磁动势相抵消，故得

或

并且有下列关系

故得

在考虑到和反相位，由式（2-1）可见，和也是反相位，可得

式中 θ₁——相量和之间的夹角；

θ₂——相量和之间的夹角。

式（2-2）表明，负载时，一次绕组从电源增加的一部分输入电功率U₁I_1Lcosθ₁传递到二次绕组，变为二次绕组获得的电功率E₂I₂cosθ₂，这就是变压器通过电磁感应进行能量传递的原理。

从上面分析可知，变压器负载运行时，通过电磁感应关系，一、二次电流是紧密联系在一起的，二次电流的增加或减小必然同时引起一次电流的增加或减小，相应地，二次侧向负载输出的功率增加或减小时，一次侧从电源吸取的功率必然同时增加或减小。

二、基本方程式

在变压器和交流电机中，电压、电流、电动势和磁通等物理量的大小及方向都随时间改变，为了正确地表示它们之间的数量和相位关系，在列方程式时，必须首先规定各物理量的正方向。正方向原则上可以任意规定，但是正方向规定的不同，同一电路内所列方程式中各物理量的正负符号不同。为了避免出错，采取下述的统一规定。

1）在作为负载的电路里（相当于电动机），外加电压是电源，在外加电压的作用下，电路内才产生电流，所以，先规定外加电压的正方向，再取电流的正方向与电压的正方向一致；对纯电阻负载来说，就是正电压产生正电流。

2）当电流产生磁通时，磁通的正方向和电流的正方向符合右手螺旋关系，就是说，正电流产生正磁通。

3）在电磁感应中，磁通的正方向和由它感应的电动势的正方向符合右手螺旋关系，这时电磁感应定律的表达式是。把第二条和第三条规定结合在一起便得：在电流产

图2-14 变压器的负载运行

生磁通，磁通感应电动势的情况下，电动势的正方向和电流的正方向取得一致。

按上述的正方向规定原则，可得变压器负载时各物理量的正方向的规定法，如图2-14所示。对于电源来说，一次绕组是负载，因此，首先选定一次电压的正方向，即由A点至X点：电流的正方向取得与电压的正方向一致，即由A点经一次绕组至X点。从电流的正方向，按右手螺旋关系确定主磁通的正方向为顺时针方向；再从主磁通正方向，按右手螺旋关系定出二次绕组电流的正方向，由a点经二次绕组至x点；于是，利用上述的电流和电动势正方向取得一致的原则，可取和的正方向和的一致，和的正方向则和的一致。这时，从变压器二次侧来看，二次绕组是“电源”，阻抗Z_L是“负载”，在电动势的作用下，二次侧才产生电流，其正方向从x点经负载至a点，由此二次电压的正方向应为从x点至a点。

上述正方向的规定方法，也适合于变压器中能量传递规律。由于u₁和i₁正方向一致，当u₁和i₁同时为正或负时，一次侧都从电源输入电功率u₁i₁。由于u₂和i₂的方向一致，当u₂和i₂同时为正或负时，二次侧都向负载输出电功率u₂i₂。

1.磁动势平衡方程式

在变压器中，由于一次磁动势F₁和二次磁动势F₂都作用在同一磁路上，在图2-14中，按全电流定律，可得变压器负载运行时的磁动势方程式为

F₁＋F₂＝F_m （2-3）

上式表明，负载运行时，变压器的合成磁动势F_m是一次磁动势F₁和二次磁动势F₂的矢量和。负载时的主磁通是由合成磁动势F_m建立的。如果用一次绕组的电流所产生的磁动势来代替合成磁动势，即，则磁动势方程式可写成

式中 ——励磁电流。

将式（2-4）两边除以N₁，便得

或

式中 ——一次电流的负载分量。

上式表明，变压器负载运行时，一次电流有两个分量，一个是励磁电流，用于建立变压器负载运行时的主磁通；一个是负载分量，产生磁动势，用于抵消二次侧磁动势，即

这与分析变压器负载运行时的物理情况所得结论相同。

式（2-6）称为磁动势平衡关系，是分析变压器性能时经常用到的一个重要关系式。在忽略励磁电流时，式中的就用代替。

顺便指出：由于变压器一次绕组的漏抗电压降很小，故从空载到额定负载时，E₁变化很小，与之相对应的主磁通和产生主磁通的合成磁动势F_m变化也很小，所以，负载时的励磁电流与空载电流相差很小，可以近似地认为相等。

2.电动势平衡方程式

变压器负载运行时，除了主磁通在一、二次绕组中感应的电动势和外，还有仅与一次绕组交链的漏磁通所感应的漏磁电动势和仅与二次绕组交链的漏磁通所感应的漏磁电动势。

一次侧漏磁电动势可用漏电抗电压降来代替，其中X_1σ是一次绕组的漏电抗，是一常数。同样，二次侧漏磁电动势也可用漏电抗电压降来代替，式中X_2σ称为二次绕组漏电抗，也是常数。再考虑到一、二次绕组有电阻R₁和R₂，按图2-14所规定的各物理量的正方向，利用电路定律，便可写出变压器负载运行时一、二次电动势平衡方程式如下

式中 Z₁＝R₁＋jX_1σ、Z₂＝R₂＋jX_2σ是一、二次绕组的漏阻抗，均为常数，与电流大小无关。

上述的磁动势平衡方程式和电动势平衡方程式概括了变压器中的电磁关系，称为变压器的基本方程式。

三、折算法

根据前面的分析，可以列出变压器负载运行时的基本方程组如下

利用这组联立方程式，便能对变压器进行定量计算。例如，当给定U₁，知道变压器的变比k和参数Z₁、Z₂、Z_m以及负载阻抗Z_L时，就能从上述六个方程式中解出六个未知量：I₁、I₂、I_m，E₁、E₂和U₂。但是，解联立复数方程组（2-10）是相当繁杂的；并且，由于电力变压器的电压比k较大，使一、二次电流、电压、阻抗等相差很大，计算时不方便，也不便于比较，特别是画相量图更是困难，因此引入了折算法。这是一种处理问题的方法，其目的是为了简化定量计算和得出变压器一、二次侧有电的联系的等效电路。

在变压器中，常常是把二次绕组折算到一次绕组，当然也可以相反。所谓把二次绕组折算到一次绕组是指：在进行定量计算时，把二次绕组的匝数变换成一次绕组的匝数，而不改变其电磁本质。这时变压比k等于1，主磁通感应于一、二次绕组的电动势相等，因而，使计算大为简化，并便于导出等效电路。这种折算后，二次侧各物理量的数值称为二次侧折算到一次侧的折算值，用原来的二次侧各物理量的符号加上一个“′”来表示。

在变换中，应做到把二次绕组的匝数变换成一次绕组的匝数，而不改变其电磁本质。从全电流定律，即从电流产生磁场的基本规律来看，只要在实行变换后，二次绕组的磁动势及其空间分布情况和原来的磁动势完全一样，则变压器中的主磁通以及一、二次绕组的漏磁通的数量和空间分布的情况将和变换前的完全一样，因此，就不会改变变压器中的电磁本质。显然，这种折算对一次侧各物理量将毫无影响。一次侧将仍从电源吸取同样大小的功率和电流，并有同样大小的功率传给二次侧。下面根据上述概念导出折算值的求法。

1.二次电流的折算值

根据折算前后二次磁动势F₂不变的原则，可得

即

于是，式（2-4）变成了

上式表明，本来是磁路中的磁动势方程式F_m＝F₁＋F₂，经折算后，变成了电路中的电流方程式，这样，电路和磁路之间通过电磁感应紧密联系在一起的变压器转化成纯电路来研究。

2.二次电动势的折算值

由于折算前后主磁场和漏磁场都没有改变，根据电动势和匝数成正比关系，便得

即

3.二次阻抗的折算值

根据漏电抗定义可得

4.二次绕组电阻的折算值

由于折算后二次绕组的匝数从N₂变为N₁，但不改变其空间位置和几何尺寸，则每节导线的断面积应变为原来的N₂／N₁倍，而绕组导线总长度则变为原来的N₁／N₂倍，这样根据导线电阻与其长度成正比，而与其断面积成反比，可得

随之可得

5.二次侧电压的折算

从折算后二次绕组的端电压仍应等于主磁通感应的电动势减去二次绕组的漏阻抗电压降，可得

6.负载阻抗的折算值

从阻抗为电压和电流之比可得

综合以上所述可见，当把二次侧各物理量折算到一次侧时，凡是单位为V的物理量（电动势、电压等）的折算值等于其原来的数值乘以k；凡是单位为Ω的物理量（电阻，电抗，阻抗）的折算值等于其原来的数值乘以k²；电流的折算值等于其原来的数值乘以1／k。

从能量关系看，折算后绕组的铜耗为

输出的视在功率为

仍和折算前一样，没有改变。这是由于折算时保证了二次磁动势F₂不变，随之，F₁也不变，故主磁通和一、二次绕组的漏磁通都不变，因而能量关系不会改变。折算后，方程组（2-10）便成为

四、相量图

根据折算后的基本方程式组（2-20），可以绘出变压器负载运行时的相量图，它很清楚地表明了各物理量的大小和相位关系。在感性负载下，按式（2-20）所绘的相量图如图2-15所示。

绘相量图的步骤随已知条件的不同而变。假定已知负载情况，即已知U₂、I₂和功率因数cosφ₂，以及变压器的参数k、R₁、X_1σ、R₂、X_2σ、R_m、X_m等，则绘图的步骤如下：根据已知变压比k算出、、、。然后，按比例尺绘出、的相量，它们之间的夹角是。在的末端加上二次侧的漏阻抗电压降和，便得的相量。绘图时，与平行，比超前90°。由于，所以就得出来了，将它转180°便是。主磁通比超前90°，大小由算出。励磁电流由算出，相位上超前一个角度α，且α＝arctan（R_m／X_m）。根据便可求出。再在上加上一次侧的漏阻抗电压降和，便得到一次侧的电压相量。和之间的夹角为φ₁，cosφ₁是变压器负载运行时一次侧的功率因数。

由图2-15可见，在感性负载下，变压器二次电压。

图2-15 感性负载时变压器的相量图

五、等效电路

在研究电机理论时，可以用一个纯电路形式的等效电路来直接表示电机中电和磁的相互关系。变压器负载运行时一次侧、二次侧以及一、二次侧之间电磁关系可以用这种等效电路直接表示。即把基本方程式组（2-20）所表示的电磁关系用电路的形式直接表示出来。

从变压器一次侧所接的电源来看，变压器只不过是整个电力系统中的一个元件。有了等效电路，就很容易用一个等效阻抗接在电源上来代替整个变压器及其所带负载，这对研究和计算电力系统的运行情况带来很大的方便。从这一点看，等效电路的作用尤为显著。

1.“T”形等效电路

等效电路可从基本方程式（2-20）导出。首先根据方程组（2-20）第一、二、六式

写出：

从以上两式中便可画出图2-16a所示的两电路。注意图中和皆为电动势，其旁的箭头为电动势（电位升高）的正方向。方程组（2-20）第四式，由于，故可把包含这两个电动势的两条电路合并在一起，如图2-16b所示。这时，前述两个电路之间只有一个电动势；从方程组（2-20）第三式可见，流经这条路的电流为，即变压器的励磁电流。现在，再把电动势用电压降来代替（图2-16c），并相应地认为它旁边的箭头方向是电压降的正方向。则根据方程组（2-20）第五式，可把这个电压降用励磁电流通过励磁电抗（R_m＋jX_m）时的电压降来表示。这样，可用R_m和X_m串联电路来代替图2-16b中间的电动势，从而得到图2-16c所示的不包含电动势的纯阻抗电路，这就是变压器的“T”形等效电路。注意，此时等效电路中间的-是电压降而不是电动势，其正方向应向下，而和电流的方向一致。此外，从式（2-5）可知就是一次电流的负载分量,。

图2-16 变压器“T”形等效电路的形成过程

a）、b）有源电路 c）无源电路

“T”形等效电路也可用数学的方法导出：解联立方程组（2-20）便可求得一次电流

其中

Z_d是从一次侧电源看变压器时，它的等效阻抗。而根据这个等效阻抗所画出来的等效电路就是图2-16c所示的“T”形等效电路。

2.近似的“Γ”形等效电路

“T”形等效电路反映了变压器内部的电磁关系，因而能准确地代表实际的变压器。但它含有串联和并联支路，进行复数运算比较麻烦。在实际电力变压器中，由于I_1NI_m，Z_mZ₁，因而电压降I_mZ_m很小，可以略去不计；同时，负载变化时，的变化也很小，因此，可认为不随负载而变。这样，便可将“T”形等效电路中的励磁支路从中间移出来，并联在电源端点，如图2-17所示。这样，对、和的数值引起的误差很小，可略去不计，但计算和分析大为简化，故称为近似“Γ”形等效电路。

图2-17 变压器的近似“Γ”型等效电路

图2-18 变压器的简化等效电路

3.简化等效电路

在电力变压器中，由于Z_m＝R_m＋jX_m很大，I_m的百分值很小，故定量分析变压器负载运行和短路情况时，假设励磁支路断开，而得更简单的串联电路，如图2-18所示，称之为变压器的简化等效电路。

在“Γ”形等效电路和简化等效电路中，可将一、二次侧的参数合并起来，得到

式中 Z_k——变压器的短路阻抗；

R_k——短路电阻；

X_k——短路电抗。

与简化等效电路对应的简化向量图如图2-19所示。相应的电压方程式为

从简化等效电路可见，变压器如果发生稳定短路（图2-18中的），则短路电流I_k＝U₁／Z_k，这个电流很大，可达额定电流的10～20倍。

图2-19 感性负载下变压器的简化相量图

基本方程式、等效电路和相量图是分析变压器运行的三种方法。基本方程式概括了变压器中的电磁关系，而等效电路和相量图是基本方程式的另两种表达形式，因此，三者之间是一致的。进行定量计算时，等效电路比较方便；讨论各物理量之间的大小和相位关系时，相量图比较方便。

六、变压器的运行特性

从变压器的二次侧看，变压器相当于一台发电机，向负载输出电功率，所以变压器的运行特性主要有：

（1）外特性 是指一次侧外施电压和二次侧负载功率因数不变时，二次侧端电压随负载电流变化的规律，即U₂＝f（I₂）。

（2）效率特性 是指一次侧外施电压和二次侧负载功率因数不变时，变压器的效率随负载电流变化的规律，即_η＝f（I₂）。

1.变压器的电压调整率

变压器负载后，由于变压器内部的漏阻抗电压降，致使二次侧端电压U₂与空载电压U₂₀不相等，通常用电压调整率来表示二次电压变化的程度。电压调整率反映了变压器供电电压的稳定性。

电压调整率是指当一次侧接在额定频率和额定电压的电源上，空载时二次电压U₂₀与在给定功率因数下二次侧有额定电流时的二次电压U₂的算术差，与二次侧额定电压的比值。即

常用的电力变压器，当I₂＝I_2N，cosφ₂＝0.8（滞后）时，ΔU＝5％～8％。

在变压器运行时，如果电压变化的范围过大，则会给用户带来很大影响。为了保证二次电压在一定范围内变化，必须进行电压调整。通常在变压器的高压绕组上设有抽头（分接头），以调节高压绕组的匝数，来达到调节二次电压的目的。

2.变压器的效率

变压器在能量转换过程中，存在着能量的损耗。损耗分为铁耗和铜耗两大类，每一类又包括基本损耗和附加损耗两种。基本铁耗是变压器铁心中的磁滞损耗和涡流损耗，附加铁耗包括铁心叠片间由于绝缘损伤引起的局部涡流损耗、主磁通在结构部件中（夹板、螺钉等处）引起的涡流损耗以及高压变压器中的介质损耗等。基本铜耗是线圈的直流电阻引起的损耗，附加铜耗包括由于漏磁场引起的趋肤效应使导线有效电阻变大而增加的损耗、多根导线并绕时的内部环流损耗以及漏磁场在结构件、油箱壁等处引起的涡流损耗等。

变压器的能量输出功率小于输入功率。输出功率和输入功率之比为变压器的效率，即

一般中小型变压器的效率为95％～98％，大型变压器的效率可达99％以上。