3.2 正弦量的表示法

由于在正弦交流电路中，所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。

3.2.1 复数及其表示形式

设A是一个复数，并设a和b分别为它的实部和虚部，则有

A=a+jb（3-6）

式（3-6）表示形式称为复数的代数形式。

复数可以用复平面上所对应的点表示（见图3-5）。

图3-5 复数在复平面上的表示

图3-6 复数的矢量表示

复数A的矢量与实轴正向间的夹角φ称为A的辐角，记作

从图3-6中可得如下关系：

复数：A=a+jb=|A|（cosφ+jsinφ）

称为复数的三角形式。

再利用欧拉公式：e^jφ=cosφ+jsinφ

又得A=|A|e^jφ （3-7）

称为复数的指数形式。在工程上简写为。

3.2.2 复数运算

1.复数的加减

设有两个复数：

A₁=a₁+jb₁

A₂=a₂+jb₂

A₁±A₂=（a₁+jb₁）±（a₂+jb₂）

=（a₁±a₂）+j（b₁±b₂）

两个复数相加的运算在复平面上是符合平行四边形的求和法则的，如图3-7所示。

2.复数的乘除

复数的乘除运算，一般采用指数形式。

图3-7 复数的加减

设有两个复数：

即复数相乘时，将模和模相乘，辐角相加；复数相除时，将模相除，辐角相减。

3.共轭复数

复数是一个模等于1，而辐角等于φ的复数。任意复数A=|A|e^jφ1乘以e^jφ等于：

即复数的模不变，辐角变化了φ角，此时复数矢量按逆时针方向旋转了φ角。所以e^jφ称为旋转因子。使用最多的旋转因子是e^j90°=j和e^j（-90°）=-j。任何一个复数乘以j（或除以j），相当于将该复数矢量按逆时针旋转90°；而乘以-j则相当于将该复数矢量按顺时针旋转90°。

3.2.3 正弦量的相量表示法

正弦量u=U_msin（ωt+φ）

可以写作：式（3-8）中，符号I_m是虚数的缩写。其中复常数部分Ue^jφ是包含了正弦量的有效值U和初相角φ的复数，我们把这复数称为正弦量的相量，并用符号表示，上面的小圆点是用来表示相量。则

简写为

图3-8 电压相量图

相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，这种表示相量的图，称为相量图。如图3-8所示。

【例3.1】已知正弦电压和

写出表示u₁和u₂的相量表示式，并画出相量图。

解：

相量图如图3-9所示。

【例3.2】已知两频率均为50Hz的电压，表示它们的相量分别为，，试写出这两个电压的解析式。

解：ω=2πf=2π×50rad/s=314rad/s

图3-9 例3.1电压的相量图

【例3.3】已知，，试用相量法求i₁+i₂。

解：

由此可见，正弦量用相量表示，可以使正弦量的运算简化。